تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: س٢ + ١٤ س + ٤٩

الإجابة: (س + ٧)٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 + 14س + 49$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** المبدأ المستخدم هو **تحليل ثلاثي الحدود التربيعي على الصورة: $أ س^2 + ب س + ج$**، أو تحديد ما إذا كان يمثل **مربعاً كاملاً**. > **ملاحظة:** مربع كامل يكون على الصورة: $(س + أ)^2 = س^2 + 2أ س + أ^2$.
3. **الخطوة 3: فحص إذا ما كان المربع كاملاً** 1. **الحد الأول:** $س^2$ هو مربع $س$. 2. **الحد الأخير:** $49$ هو مربع $7$ (لأن $7^2 = 49$). 3. **الحد الأوسط:** $14س$، نتحقق هل يساوي $2 × س × 7$؟ - $2 × س × 7 = 14س$ **نعم، يساوي تماماً**. إذن التعبير هو **مربع كامل**.
4. **الخطوة 4: كتابة الناتج** بما أن: $س^2 + 14س + 49 = س^2 + 2(س)(7) + 7^2$ فإنه يساوي: $(س + 7)^2$
5. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة $س^2 + 14س + 49$ هو $(س + 7)^2$.

سؤال 2: س٢ - ٧ س - ٣٠

الإجابة: (س - ١٠) (س + ٣)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 - 7س - 30$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** تحليل **ثلاثي الحدود التربيعي** $س^2 + ب س + ج$ عن طريق إيجاد **عددين حاصل جمعهما (ب) وحاصل ضربهما (ج)**.
3. **الخطوة 3: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $س^2 - 7س - 30$: - معامل $س^2$ هو **1**. - معامل $س$ هو **-7**. - الحد المطلق (ج) هو **-30**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = -30**. - **حاصل جمعهما = -7**.
4. **الخطوة 4: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما -30 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، -30 | 1 + (-30) = -29 | | -1 ، 30 | -1 + 30 = 29 | | 2 ، -15 | 2 + (-15) = -13 | | -2 ، 15 | -2 + 15 = 13 | | 3 ، -10 | 3 + (-10) = -7 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | -3 ، 10 | -3 + 10 = 7 | | 5 ، -6 | 5 + (-6) = -1 | | -5 ، 6 | -5 + 6 = 1 |
5. **الخطوة 5: كتابة التحليل** باستخدام العددين **3** و **-10**، نكتب التعبير المحلل: $س^2 - 7س - 30 = (س + 3)(س - 10)$.
6. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(س - 10)(س + 3)$.

سؤال 3: ن٢ + ٤ ن - ٢١

الإجابة: (ن + ٧) (ن - ٣)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $ن^2 + 4ن - 21$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** تحليل **ثلاثي الحدود التربيعي** $ن^2 + ب ن + ج$ بإيجاد عددين مجموعهما **ب** وحاصل ضربهما **ج**.
3. **الخطوة 3: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $ن^2 + 4ن - 21$: - معامل $ن^2$ هو **1**. - معامل $ن$ هو **4**. - الحد المطلق (ج) هو **-21**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = -21**. - **حاصل جمعهما = 4**.
4. **الخطوة 4: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما -21 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، -21 | 1 + (-21) = -20 | | -1 ، 21 | -1 + 21 = 20 | | 3 ، -7 | 3 + (-7) = -4 | | -3 ، 7 | **-3 + 7 = 4** | **هذا هو الزوج المطلوب** |
5. **الخطوة 5: كتابة التحليل** باستخدام العددين **-3** و **7**، نكتب التعبير المحلل: $ن^2 + 4ن - 21 = (ن - 3)(ن + 7)$.
6. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(ن + 7)(ن - 3)$.

سؤال 5: س٢ - ٤ س = ٢١

الإجابة: س = ٧، س = -٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 4س = 21$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة (حل المعادلة التربيعية). |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لحل معادلة تربيعية على الصورة $أس^2 + ب س + ج = 0$ يمكن استخدام: 1. **التحليل إلى عوامل**. 2. **إكمال المربع**. 3. **الصيغة التربيعية (القانون العام)**. سنستخدم **التحليل** بعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية.
3. **الخطوة 3: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** ننقل **21** إلى الطرف الأيسر: $س^2 - 4س - 21 = 0$.
4. **الخطوة 4: تحليل الطرف الأيسر** نحتاج لتحليل $س^2 - 4س - 21$ إلى عوامل. نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-21**. - حاصل جمعهما = **-4**. | زوج عوامل حاصل ضربهما -21 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، -21 | -20 | | -1 ، 21 | 20 | | 3 ، -7 | -4 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | -3 ، 7 | 4 | إذن: $س^2 - 4س - 21 = (س + 3)(س - 7)$.
5. **الخطوة 5: حل المعادلة بعد التحليل** $(س + 3)(س - 7) = 0$ > **خاصية الضرب الصفري:** إذا كان حاصل ضرب مقدارين يساوي صفراً، فإما أن يكون أحدهما أو كلاهما يساوي صفراً. 1. $س + 3 = 0$ → $س = -3$ 2. $س - 7 = 0$ → $س = 7$
6. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $س = 7$ و $س = -3$.

سؤال 6: ن٢ - ٣ ن = ٢

الإجابة: ن = ٢، ن = -١

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $ن^2 - 3ن = 2$ | | المطلوب | إيجاد قيم $ن$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** ننقل **2** إلى الطرف الأيسر: $ن^2 - 3ن - 2 = 0$.
3. **الخطوة 3: محاولة التحليل** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-2**. - حاصل جمعهما = **-3**. الأزواج الممكنة: (1, -2) مجموعهما -1، و (-1, 2) مجموعهما 1. > **لا يوجد عددان صحيحان يحققان الشرطين معاً.** لذا، سنستخدم **الصيغة التربيعية (القانون العام)**.
4. **الخطوة 4: تطبيق القانون العام** القانون العام: $ن = \frac{-ب \pm \sqrt{ب^2 - 4أج}}{2أ}$ للمعادلة $أ ن^2 + ب ن + ج = 0$. من $ن^2 - 3ن - 2 = 0$: - $أ = 1$ - $ب = -3$ - $ج = -2$ نحسب **المميز**: $ب^2 - 4أج = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$. إذن: $ن = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
5. **الخطوة 5: كتابة الحلين** 1. $ن = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ 2. $ن = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($ن = 2، ن = -1$) لا تطابق الحل باستخدام القانون العام. ربما كان هناك خطأ في الإجابة الأصلية أو في السؤال. بناءً على المعادلة $ن^2 - 3ن - 2 = 0$، الحل هو $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
6. **الإجابة النهائية (بناءً على المعادلة المعطاة):** حلول المعادلة $ن^2 - 3ن = 2$ هي $ن = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ و $ن = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$.

سؤال 7: س٢ - ١٥ س = ٥٤

الإجابة: س = ٩، س = ٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 15س = 54$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** ننقل **54** إلى الطرف الأيسر: $س^2 - 15س - 54 = 0$.
3. **الخطوة 3: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-54**. - حاصل جمعهما = **-15**. | زوج عوامل حاصل ضربهما -54 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، -54 | -53 | | -1 ، 54 | 53 | | 2 ، -27 | -25 | | -2 ، 27 | 25 | | 3 ، -18 | -15 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | -3 ، 18 | 15 | | 6 ، -9 | -3 | | -6 ، 9 | 3 | إذن: $س^2 - 15س - 54 = (س + 3)(س - 18)$.
4. **الخطوة 4: حل المعادلة بعد التحليل** $(س + 3)(س - 18) = 0$ 1. $س + 3 = 0$ → $س = -3$ 2. $س - 18 = 0$ → $س = 18$ > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($س = 9، س = 6$) لا تطابق حلنا. ربما كان السؤال الأصلي مختلفاً (مثل $س^2 - 15س + 54 = 0$). إذا افترضنا أن السؤال الصحيح هو $س^2 - 15س = 54$، فالحل هو $س = 18$ و $س = -3$.
5. **الإجابة النهائية (بناءً على المعادلة المكتوبة):** حلول المعادلة $س^2 - 15س = 54$ هي $س = 18$ و $س = -3$.

سؤال 8: س٢ + ١٢ س = -٣٦

الإجابة: س = -٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 + 12س = -36$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** نضيف **36** للطرفين: $س^2 + 12س + 36 = 0$.
3. **الخطوة 3: فحص إذا ما كان المربع كاملاً** 1. الحد الأول: $س^2$ مربع $س$. 2. الحد الأخير: $36$ مربع $6$. 3. الحد الأوسط: $12س = 2 × س × 6$. نعم، هو مربع كامل: $س^2 + 2(س)(6) + 6^2 = (س + 6)^2$. إذن المعادلة تصبح: $(س + 6)^2 = 0$.
4. **الخطوة 4: حل المعادلة** $(س + 6)^2 = 0$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $س + 6 = 0$ إذن: $س = -6$. > هذا حل مزدوج (حل وحيد متكرر) لأن المميز يساوي صفراً.
5. **الإجابة النهائية:** للمعادلة حل وحيد (مزدوج) هو $س = -6$.

سؤال 9: س٢ - ٨ س = ٠

الإجابة: س = ٨، س = ٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 8س = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** **أخذ العامل المشترك** هو أبسط طريقة لحل المعادلة عندما يكون الحد المطلق (ج) = 0.
3. **الخطوة 3: أخذ العامل المشترك** العامل المشترك بين $س^2$ و $-8س$ هو **$س$**. $س(س - 8) = 0$.
4. **الخطوة 4: حل المعادلة** باستخدام **خاصية الضرب الصفري**: 1. $س = 0$ 2. $س - 8 = 0$ → $س = 8$
5. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هما $س = 0$ و $س = 8$.

سؤال 10: س٢ - ١٠ س = -٢٤

الإجابة: س = ١٢، س = -٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 10س = -24$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** نضيف **24** للطرفين: $س^2 - 10س + 24 = 0$.
3. **الخطوة 3: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **24**. - حاصل جمعهما = **-10**. | زوج عوامل حاصل ضربهما 24 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، 24 | 25 | | 2 ، 12 | 14 | | 3 ، 8 | 11 | | 4 ، 6 | 10 | | **-4 ، -6** | **-10** | **هذا هو الزوج المطلوب** | إذن: $س^2 - 10س + 24 = (س - 4)(س - 6)$.
4. **الخطوة 4: حل المعادلة بعد التحليل** $(س - 4)(س - 6) = 0$ 1. $س - 4 = 0$ → $س = 4$ 2. $س - 6 = 0$ → $س = 6$ > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($س = 12، س = -2$) لا تطابق حلنا. ربما كان السؤال الأصلي مختلفاً (مثل $س^2 - 10س = -24$ تعطي $س^2 - 10س + 24 = 0$ والتي حلها 4 و 6). إذا كان السؤال $س^2 - 10س = -24$ فعلاً، فالحل هو $س = 4$ و $س = 6$.
5. **الإجابة النهائية (بناءً على المعادلة المكتوبة):** حلول المعادلة $س^2 - 10س = -24$ هي $س = 4$ و $س = 6$.

سؤال 11: إطار صورة. اشترت لطيفة إطارًا للصورة، إلا أن الصورة كانت أكبر من الإطار. لذا فإنها بحاجة إلى تصغير طول الصورة وعرضها بالمقدار نفسه، على أن تصبح مساحتها نصف مساحتها الأصلية. فإذا كان بعدا الصورة الأصلية ١٦، ١٢ سم، فما بعدا الصورة المصغرة؟

الإجابة: 8 سم و 12 سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | طول الصورة الأصلية | 16 | سم | | عرض الصورة الأصلية | 12 | سم | | مساحة الصورة الأصلية | $16 \times 12 = 192$ | سم² | | مساحة الصورة المصغرة | نصف المساحة الأصلية = $\frac{192}{2} = 96$ | سم² | | المقدار المقطوع من كل بعد | $س$ (غير معروف) | سم | | المطلوب | إيجاد أبعاد الصورة المصغرة (الطول والعرض الجديدان). |
2. **الخطوة 2: تعريف المتغير وصياغة المعادلة** لنفرض أن **$س$** هي كمية التصغير (بالسنتيمتر) المقطوعة من **الطول** و **العرض**. - **الطول الجديد** = $16 - س$ - **العرض الجديد** = $12 - س$ - **المساحة الجديدة** = $(16 - س)(12 - س)$ المساحة الجديدة تساوي **96 سم²**. إذن المعادلة هي: $(16 - س)(12 - س) = 96$.
3. **الخطوة 3: تبسيط المعادلة وحلها** 1. **توسيع الطرف الأيسر:** $(16 - س)(12 - س) = 192 - 16س - 12س + س^2 = س^2 - 28س + 192$ 2. **كتابة المعادلة:** $س^2 - 28س + 192 = 96$ 3. **الكتابة بالصورة القياسية:** $س^2 - 28س + 192 - 96 = 0$ $س^2 - 28س + 96 = 0$
4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة التربيعية** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **96**. - حاصل جمعهما = **-28**. الأزواج الممكنة: (-4, -24) مجموعهما -28 وضربهما 96. إذن: $س^2 - 28س + 96 = (س - 4)(س - 24)$.
5. **الخطوة 5: حل المعادلة وتفسير النتائج** $(س - 4)(س - 24) = 0$ 1. $س - 4 = 0$ → $س = 4$ سم. 2. $س - 24 = 0$ → $س = 24$ سم. > **تفسير الحلين:** > - **$س = 4$ سم:** هذا حل منطقي، حيث يمكن قطع 4 سم من كل بعد. > - **$س = 24$ سم:** هذا **غير منطقي**، لأنك لا يمكنك قطع 24 سم من عرض هو 12 سم أصلاً! نستبعد هذا الحل.
6. **الخطوة 6: إيجاد الأبعاد الجديدة** باستخدام $س = 4$ سم: - **الطول الجديد** = $16 - 4 = 12$ سم. - **العرض الجديد** = $12 - 4 = 8$ سم. **التحقق:** المساحة الجديدة = $12 × 8 = 96$ سم². (صحيح)
7. **الإجابة النهائية:** أبعاد الصورة المصغرة هي **طول 12 سم** و **عرض 8 سم**.

سؤال 12: س٢ + ١٧ س + ٧٢

الإجابة: (س + ٨) (س + ٩)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 + 17س + 72$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $س^2 + 17س + 72$: - معامل $س^2$ هو **1**. - معامل $س$ هو **17**. - الحد المطلق (ج) هو **72**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = 72**. - **حاصل جمعهما = 17**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما 72 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، 72 | 73 | | 2 ، 36 | 38 | | 3 ، 24 | 27 | | 4 ، 18 | 22 | | 6 ، 12 | 18 | | **8 ، 9** | **17** | **هذا هو الزوج المطلوب** |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **8** و **9**، نكتب التعبير المحلل: $س^2 + 17س + 72 = (س + 8)(س + 9)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(س + 8)(س + 9)$.

سؤال 13: س٢ - ١٧ س + ٧٢

الإجابة: (س - ٨) (س - ٩)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 - 17س + 72$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $س^2 - 17س + 72$: - معامل $س^2$ هو **1**. - معامل $س$ هو **-17**. - الحد المطلق (ج) هو **72**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = 72**. - **حاصل جمعهما = -17**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما 72 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | -1 ، -72 | -73 | | -2 ، -36 | -38 | | -3 ، -24 | -27 | | -4 ، -18 | -22 | | -6 ، -12 | -18 | | **-8 ، -9** | **-17** | **هذا هو الزوج المطلوب** |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **-8** و **-9**، نكتب التعبير المحلل: $س^2 - 17س + 72 = (س - 8)(س - 9)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(س - 8)(س - 9)$.

سؤال 14: أ٢ - ٨ أ - ٤٨

الإجابة: (أ - ١٢) (أ + ٤)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $أ^2 - 8أ - 48$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $أ^2 - 8أ - 48$: - معامل $أ^2$ هو **1**. - معامل $أ$ هو **-8**. - الحد المطلق (ج) هو **-48**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = -48**. - **حاصل جمعهما = -8**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما -48 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، -48 | -47 | | -1 ، 48 | 47 | | 2 ، -24 | -22 | | -2 ، 24 | 22 | | 3 ، -16 | -13 | | -3 ، 16 | 13 | | 4 ، -12 | -8 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | -4 ، 12 | 8 |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **4** و **-12**، نكتب التعبير المحلل: $أ^2 - 8أ - 48 = (أ + 4)(أ - 12)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(أ - 12)(أ + 4)$.

سؤال 15: ن٢ - ن - ٣٥

الإجابة: (ن - ٧) (ن + ٥)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $ن^2 - ن - 35$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $ن^2 - ن - 35$: - معامل $ن^2$ هو **1**. - معامل $ن$ هو **-1**. - الحد المطلق (ج) هو **-35**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = -35**. - **حاصل جمعهما = -1**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما -35 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، -35 | -34 | | -1 ، 35 | 34 | | 5 ، -7 | -2 | | -5 ، 7 | 2 | > **لا يوجد عددان صحيحان مجموعهما -1 وضربهما -35.** هذا يعني أن التعبير **لا يمكن تحليله باستخدام أعداد صحيحة**.
4. **الخطوة 4: البديل (إذا طلب التحليل)** يمكن استخدام **الصيغة التربيعية** لإيجاد الجذور ثم كتابة التحليل. المعادلة $ن^2 - ن - 35 = 0$: - $أ = 1$، $ب = -1$، $ج = -35$ - المميز = $(-1)^2 - 4(1)(-35) = 1 + 140 = 141$ - الجذور: $ن = \frac{1 \pm \sqrt{141}}{2}$ التحليل هو: $\left(ن - \frac{1 + \sqrt{141}}{2}\right)\left(ن - \frac{1 - \sqrt{141}}{2}\right)$. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($(ن - 7)(ن + 5)$) لا تطابق التعبير الأصلي، لأن $(ن-7)(ن+5) = ن^2 -2ن -35$ وليس $ن^2 - ن -35$.
5. **الإجابة النهائية (بناءً على التعبير المكتوب):** التعبير $ن^2 - ن - 35$ لا يحلل باستخدام عوامل صحيحة. باستخدام القانون العام، عواملها هي $\left(ن - \frac{1 + \sqrt{141}}{2}\right)\left(ن - \frac{1 - \sqrt{141}}{2}\right)$.

سؤال 16: ٤٤ + ٤٤ هـ + هـ٢

الإجابة: (٢٢ + هـ)٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $44 + 44هـ + هـ^2$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: إعادة ترتيب التعبير** لتحليل تعبير تربيعي، من الأفضل كتابته بالصورة القياسية (ترتيب تنازلي للأسس). $هـ^2 + 44هـ + 44$. > **ملاحظة:** هناك خطأ محتمل في التعبير، لأن العدد 44 ليس مربعاً كاملاً. ربما العبارة الأصلية كانت $484 + 44هـ + هـ^2$ لأن $484 = 22^2$. ولكننا سنتعامل مع المعطى كما هو.
3. **الخطوة 3: فحص إذا ما كان مربعاً كاملاً** للصيغة $هـ^2 + 44هـ + 44$: 1. الحد الأول: $هـ^2$ مربع $هـ$. 2. الحد الأخير: **44 ليس مربعاً صحيحاً** ($\sqrt{44} \approx 6.63$). 3. الحد الأوسط: $44هـ$، و $2 × هـ × \sqrt{44} \approx 2 × 6.63هـ = 13.26هـ$، لا يساوي 44هـ. إذن **ليس مربعاً كاملاً**.
4. **الخطوة 4: محاولة التحليل التقليدي** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **44**. - حاصل جمعهما = **44**. الأزواج الممكنة لـ 44: (1,44), (2,22), (4,11). مجموع أي منها لا يساوي 44 إلا (1,44) ولكن مجموعهما 45 وليس 44. لا يوجد عددان صحيحان يحققان الشرطين.
5. **الخطوة 5: الاستنتاج** التعبير $44 + 44هـ + هـ^2$ **لا يمكن تحليله باستخدام عوامل صحيحة**. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة $(22 + هـ)^2$ تتطلب أن يكون التعبير $هـ^2 + 44هـ + 484$، لأن $(22+هـ)^2 = هـ^2 + 44هـ + 484$. يبدو أن هناك خطأ في كتابة التعبير في السؤال.
6. **الإجابة النهائية (بناءً على التعبير المكتوب):** التعبير $44 + 44هـ + هـ^2$ لا يحلل باستخدام عوامل صحيحة. إذا كان التعبير المقصود هو $هـ^2 + 44هـ + 484$، فتحليله هو $(هـ + 22)^2$.

سؤال 17: س٢ - ٢٢ س + ١٢١

الإجابة: (س - ١١)٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 - 22س + 121$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: فحص إذا ما كان المربع كاملاً** 1. **الحد الأول:** $س^2$ هو مربع $س$. 2. **الحد الأخير:** $121$ هو مربع $11$ (لأن $11^2 = 121$). 3. **الحد الأوسط:** $-22س$، نتحقق هل يساوي $2 × س × (-11)$؟ - $2 × س × (-11) = -22س$ **نعم، يساوي تماماً**. إذن التعبير هو **مربع كامل**.
3. **الخطوة 3: كتابة الناتج** بما أن: $س^2 - 22س + 121 = س^2 - 2(س)(11) + 11^2$ فإنه يساوي: $(س - 11)^2$
4. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة $س^2 - 22س + 121$ هو $(س - 11)^2$.

سؤال 18: س٢ - ٧ س + ١٢ = ٠

الإجابة: س = ٤، س = ٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 7س + 12 = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **12**. - حاصل جمعهما = **-7**. | زوج عوامل حاصل ضربهما 12 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | -1 ، -12 | -13 | | -2 ، -6 | -8 | | **-3 ، -4** | **-7** | **هذا هو الزوج المطلوب** | إذن: $س^2 - 7س + 12 = (س - 3)(س - 4)$.
3. **الخطوة 3: حل المعادلة بعد التحليل** $(س - 3)(س - 4) = 0$ 1. $س - 3 = 0$ → $س = 3$ 2. $س - 4 = 0$ → $س = 4$
4. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $س = 3$ و $س = 4$.

سؤال 19: س٢ - ٢٠ س = ٠

الإجابة: س = ٢٠، س = ٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 20س = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: أخذ العامل المشترك** العامل المشترك بين $س^2$ و $-20س$ هو **$س$**. $س(س - 20) = 0$.
3. **الخطوة 3: حل المعادلة** باستخدام **خاصية الضرب الصفري**: 1. $س = 0$ 2. $س - 20 = 0$ → $س = 20$
4. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هما $س = 0$ و $س = 20$.

سؤال 20: س٢ - ٦ س = ١٦

الإجابة: س = ٨، س = -٢

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $س^2 - 6س = 16$ | | المطلوب | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** نطرح **16** من الطرفين: $س^2 - 6س - 16 = 0$.
3. **الخطوة 3: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-16**. - حاصل جمعهما = **-6**. | زوج عوامل حاصل ضربهما -16 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، -16 | -15 | | -1 ، 16 | 15 | | 2 ، -8 | -6 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | -2 ، 8 | 6 |
4. **الخطوة 4: حل المعادلة بعد التحليل** $س^2 - 6س - 16 = (س + 2)(س - 8) = 0$ 1. $س + 2 = 0$ → $س = -2$ 2. $س - 8 = 0$ → $س = 8$
5. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $س = 8$ و $س = -2$.

سؤال 21: جـ٢ + ١٠ جـ + ٩ = ٠

الإجابة: جـ = -١، جـ = -٩

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $ج^2 + 10ج + 9 = 0$ | | المطلوب | إيجاد قيم $ج$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **9**. - حاصل جمعهما = **10**. | زوج عوامل حاصل ضربهما 9 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، 9 | 10 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | 3 ، 3 | 6 | إذن: $ج^2 + 10ج + 9 = (ج + 1)(ج + 9)$.
3. **الخطوة 3: حل المعادلة بعد التحليل** $(ج + 1)(ج + 9) = 0$ 1. $ج + 1 = 0$ → $ج = -1$ 2. $ج + 9 = 0$ → $ج = -9$
4. **الإجابة النهائية:** حلول المعادلة هي $ج = -1$ و $ج = -9$.

سؤال 22: ن٢ - ١٢ ن = ٢٧

الإجابة: ن = ٩، ن = -٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $ن^2 - 12ن = 27$ | | المطلوب | إيجاد قيم $ن$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** نطرح **27** من الطرفين: $ن^2 - 12ن - 27 = 0$.
3. **الخطوة 3: محاولة التحليل** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-27**. - حاصل جمعهما = **-12**. | زوج عوامل حاصل ضربهما -27 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | 1 ، -27 | -26 | | -1 ، 27 | 26 | | 3 ، -9 | -6 | | -3 ، 9 | 6 | > **لا يوجد عددان صحيحان يحققان الشرطين.** لذا، سنستخدم **الصيغة التربيعية**.
4. **الخطوة 4: تطبيق القانون العام** من $ن^2 - 12ن - 27 = 0$: - $أ = 1$ - $ب = -12$ - $ج = -27$ المميز: $ب^2 - 4أج = (-12)^2 - 4(1)(-27) = 144 + 108 = 252$. $ن = \frac{-(-12) \pm \sqrt{252}}{2(1)} = \frac{12 \pm \sqrt{252}}{2}$. نبسط $\sqrt{252} = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7}$. إذن: $ن = \frac{12 \pm 6\sqrt{7}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{7}$.
5. **الخطوة 5: كتابة الحلين** 1. $ن = 6 + 3\sqrt{7}$ 2. $ن = 6 - 3\sqrt{7}$ > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($ن = 9، ن = -3$) لا تطابق الحل باستخدام القانون العام. ربما كانت المعادلة الأصلية $ن^2 - 12ن = -27$ أي $ن^2 - 12ن + 27 = 0$ والتي تحل إلى $(ن-3)(ن-9)=0$. بناءً على المعادلة المكتوبة ($ن^2 - 12ن = 27$)، الحل هو $ن = 6 \pm 3\sqrt{7}$.
6. **الإجابة النهائية (بناءً على المعادلة المكتوبة):** حلول المعادلة $ن^2 - 12ن = 27$ هي $ن = 6 + 3\sqrt{7}$ و $ن = 6 - 3\sqrt{7}$.

سؤال 23: هـ٢ + ٤ هـ = ٤٨

الإجابة: هـ = ٦، هـ = -٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | المعادلة | |--------|----------| | المعطى | $هـ^2 + 4هـ = 48$ | | المطلوب | إيجاد قيم $هـ$ التي تحقق المعادلة التربيعية. |
2. **الخطوة 2: كتابة المعادلة بالصورة القياسية** نطرح **48** من الطرفين: $هـ^2 + 4هـ - 48 = 0$.
3. **الخطوة 3: تحليل الطرف الأيسر** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-48**. - حاصل جمعهما = **4**. | زوج عوامل حاصل ضربهما -48 | مجموعهما | |-----------------------------|-----------| | -1 ، 48 | 47 | | 1 ، -48 | -47 | | -2 ، 24 | 22 | | 2 ، -24 | -22 | | -3 ، 16 | 13 | | 3 ، -16 | -13 | | -4 ، 12 | 8 | | 4 ، -12 | -8 | | **-6 ، 8** | **2** | **ليس 4** | | **6 ، -8** | **-2** | **ليس 4** | > **يبدو أن العددين هما 12 و -4؟** مجموع 12 و -4 هو 8. دعنا نتحقق مرة أخرى: نريد عددين مجموعهما **4** وضربهما **-48**. الزوج **12 و -4** مجموعهما 8 (ليس 4). الزوج **-12 و 4** مجموعهما -8. **لا يوجد عددان صحيحان يحققان الشرطين.**
4. **الخطوة 4: استخدام القانون العام** من $هـ^2 + 4هـ - 48 = 0$: - $أ = 1$ - $ب = 4$ - $ج = -48$ المميز: $ب^2 - 4أج = (4)^2 - 4(1)(-48) = 16 + 192 = 208$. $هـ = \frac{-4 \pm \sqrt{208}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \times 13}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{13}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{13}$.
5. **الخطوة 5: كتابة الحلين** 1. $هـ = -2 + 2\sqrt{13}$ 2. $هـ = -2 - 2\sqrt{13}$ > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص ($هـ = 6، هـ = -8$) لا تطابق الحل باستخدام القانون العام. ربما كانت المعادلة الأصلية $هـ^2 + 4هـ = -48$؟ أو $هـ^2 + 4هـ - 48 = 0$ والتي حلها باستخدام الأعداد الصحيحة غير موجود. ربما كان هناك خطأ في السؤال أو الإجابة.
6. **الإجابة النهائية (بناءً على المعادلة المكتوبة):** حلول المعادلة $هـ^2 + 4هـ = 48$ هي $هـ = -2 + 2\sqrt{13}$ و $هـ = -2 - 2\sqrt{13}$.

سؤال 24: هندسة. مساحة مثلث ٦٣ سم٢، ويزيد ارتفاعه ٦ سم على طول قاعدته. فما ارتفاعه؟ وما طول قاعدته؟

الإجابة: القاعدة: ٦ سم، الارتفاع: ١٢ سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الوصف | |--------|--------| | مساحة المثلث | 63 سم² | | العلاقة بين الارتفاع والقاعدة | الارتفاع يزيد بمقدار 6 سم عن القاعدة | | المطلوب | طول القاعدة والارتفاع |
2. **الخطوة 2: تعريف المتغيرات وصياغة المعادلة** لنفرض أن **طول القاعدة = $س$ سم**. بما أن الارتفاع يزيد عن القاعدة بمقدار 6 سم، إذن: **الارتفاع = $س + 6$ سم**. مساحة المثلث = $\frac{1}{2} × القاعدة × الارتفاع$. $\frac{1}{2} × س × (س + 6) = 63$.
3. **الخطوة 3: تبسيط المعادلة وحلها** 1. **تخلص من الكسر** بضرب الطرفين في 2: $س(س + 6) = 126$ 2. **توسيع الطرف الأيسر:** $س^2 + 6س = 126$ 3. **الكتابة بالصورة القياسية:** $س^2 + 6س - 126 = 0$
4. **الخطوة 4: حل المعادلة التربيعية** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-126**. - حاصل جمعهما = **6**. الأزواج المحتملة لـ 126: (1,126), (2,63), (3,42), (6,21), (7,18), (9,14). لا يوجد زوج من الأعداد الصحيحة مجموعهما 6 وضربهما -126. لذا، نستخدم **القانون العام**: - $أ = 1$، $ب = 6$، $ج = -126$ - المميز = $6^2 - 4(1)(-126) = 36 + 504 = 540$ - $س = \frac{-6 \pm \sqrt{540}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 \times 15}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{15}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{15}$. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة في النص (القاعدة: ٦ سم، الارتفاع: ١٢ سم) تعطي مساحة $\frac{1}{2} × 6 × 12 = 36$ سم² وليس 63 سم². هناك تناقض.
5. **الخطوة 5: تفسير النتائج** 1. $س = -3 + 3\sqrt{15}$ (قيمة موجبة تقريباً $\approx -3 + 11.62 = 8.62$ سم). 2. $س = -3 - 3\sqrt{15}$ (قيمة سالبة، مرفوضة لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً). إذن **طول القاعدة** $س \approx 8.62$ سم. **الارتفاع** $س + 6 \approx 14.62$ سم. **التحقق:** المساحة = $\frac{1}{2} × 8.62 × 14.62 \approx 63$ سم² (تقريباً).
6. **الإجابة النهائية (بناءً على المعطيات الدقيقة):** طول القاعدة هو $-3 + 3\sqrt{15}$ سم (حوالي 8.62 سم)، والارتفاع هو $3 + 3\sqrt{15}$ سم (حوالي 14.62 سم).

سؤال 25: هندسة. تمثل العبارة (س٢ - ١٢ س - ١٣) سم٢ مساحة مستطيل طوله (س + ١) سم. فما عرضه؟

الإجابة: العرض: س - ١٣ سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | التعبير الجبري | |--------|----------------| | مساحة المستطيل | $(س^2 - 12س - 13)$ سم² | | طول المستطيل | $(س + 1)$ سم | | المطلوب | عرض المستطيل (كتعبير جبري في $س$) |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** مساحة المستطيل = الطول × العرض. إذن: **العرض = المساحة ÷ الطول**.
3. **الخطوة 3: إجراء القسمة (تحليل العبارة)** بما أن العرض = $\frac{س^2 - 12س - 13}{س + 1}$، يمكننا إيجاد الناتج عن طريق **تحليل البسط**. تحليل $س^2 - 12س - 13$: نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-13**. - حاصل جمعهما = **-12**. العددان هما **-13** و **1**، لأن $-13 + 1 = -12$ و $(-13) × 1 = -13$. إذن: $س^2 - 12س - 13 = (س - 13)(س + 1)$.
4. **الخطوة 4: تبسيط الكسر** $العرض = \frac{(س - 13)(س + 1)}{س + 1}$ بشرط أن $س \neq -1$ (حتى لا يكون المقام صفراً)، يمكننا **اختزال** العامل $(س + 1)$. العرض = $س - 13$.
5. **الإجابة النهائية:** عرض المستطيل هو $(س - 13)$ سم.

سؤال 26: ك٢ + ١١ ك + ١٨

الإجابة: (ك + ٩) (ك + ٢)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $ك^2 + 11ك + 18$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $ك^2 + 11ك + 18$: - معامل $ك^2$ هو **1**. - معامل $ك$ هو **11**. - الحد المطلق (ج) هو **18**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = 18**. - **حاصل جمعهما = 11**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما 18 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، 18 | 19 | | 2 ، 9 | 11 | **هذا هو الزوج المطلوب** | | 3 ، 6 | 9 |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **2** و **9**، نكتب التعبير المحلل: $ك^2 + 11ك + 18 = (ك + 2)(ك + 9)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(ك + 9)(ك + 2)$.

سؤال 27: س٢ - ٦ س + ٥

الإجابة: (س - ٥) (س - ١)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $س^2 - 6س + 5$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $س^2 - 6س + 5$: - معامل $س^2$ هو **1**. - معامل $س$ هو **-6**. - الحد المطلق (ج) هو **5**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = 5**. - **حاصل جمعهما = -6**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما 5 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، 5 | 6 | | -1 ، -5 | -6 | **هذا هو الزوج المطلوب** |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **-1** و **-5**، نكتب التعبير المحلل: $س^2 - 6س + 5 = (س - 1)(س - 5)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(س - 5)(س - 1)$.

سؤال 28: أ٢ + ١٠ أ + ٢٤

الإجابة: (أ + ٦) (أ + ٤)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المهمة | التعبير | |--------|---------| | المعطى | $أ^2 + 10أ + 24$ | | المطلوب | تحليل التعبير التربيعي إلى عوامله الأولية. |
2. **الخطوة 2: تحديد معاملات الحدود** للتعبير $أ^2 + 10أ + 24$: - معامل $أ^2$ هو **1**. - معامل $أ$ هو **10**. - الحد المطلق (ج) هو **24**. نبحث عن عددين: - **حاصل ضربهما = 24**. - **حاصل جمعهما = 10**.
3. **الخطوة 3: البحث عن العددين المناسبين** | زوج من العوامل حاصل ضربهما 24 | حاصل جمعهما | |----------------------------------|--------------| | 1 ، 24 | 25 | | 2 ، 12 | 14 | | 3 ، 8 | 11 | | **4 ، 6** | **10** | **هذا هو الزوج المطلوب** |
4. **الخطوة 4: كتابة التحليل** باستخدام العددين **4** و **6**، نكتب التعبير المحلل: $أ^2 + 10أ + 24 = (أ + 4)(أ + 6)$.
5. **الإجابة النهائية:** العوامل الأولية للتعبير هي $(أ + 6)(أ + 4)$.

سؤال 29: سياحة. يريد طول حوض سباحة دولي مستطيل الشكل ٢٩ مترًا عن عرضه، ومساحته ١٠٥٠ م٢. أ) عرف متغيرًا، واكتب معادلة تمثل مساحة سطحه. ب) حل المعادلة. ج) فسر الإجابتين، وهل هناك معنى لكل منهما؟

الإجابة: أ) المعادلة: س(س + ٢٩) = ١٠٥٠ ب) س = ٢١ أو س = -٥٠ ج) س = ٢١ م، س = -٥٠ م لا معنى لها

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المشكلة وجدول المعطيات** | الكمية | الوصف | |--------|--------| | شكل الحوض | مستطيل | | العلاقة بين الطول والعرض | الطول يزيد عن العرض بمقدار 29 متراً | | المساحة الإجمالية | 1050 متر² | | المطلوب (أ) | تعريف متغير وكتابة معادلة للمساحة | | المطلوب (ب) | حل المعادلة | | المطلوب (ج) | تفسير الحلول |
2. **الخطوة 2 (أ): تعريف المتغير وصياغة المعادلة** لنفرض أن **عرض الحوض = $س$ متر**. بما أن الطول يزيد عن العرض بمقدار 29 متراً، إذن: **طول الحوض = $س + 29$ متر**. مساحة المستطيل = الطول × العرض. المعادلة: $س(س + 29) = 1050$.
3. **الخطوة 3 (ب): حل المعادلة** 1. **توسيع المعادلة:** $س^2 + 29س = 1050$ 2. **الكتابة بالصورة القياسية:** $س^2 + 29س - 1050 = 0$
4. **الخطوة 4: تحليل المعادلة التربيعية** نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما = **-1050**. - حاصل جمعهما = **29**. نبدأ بإيجاد عوامل العدد 1050: 1050 ÷ 50 = 21، إذن 50 و 21 مجموعهما 71. نجرب أزواجاً أخرى: 1050 ÷ 35 = 30، إذن 35 و 30 مجموعهما 65. 1050 ÷ 25 = 42، إذن 25 و 42 مجموعهما 67. 1050 ÷ 21 = 50، مجموعهما 71. 1050 ÷ 15 = 70، مجموعهما 85. نحتاج مجموع 29. الفرق بين العاملين يجب أن يكون 29 تقريباً. لنجرب أزواجاً أحدهما سالب: الزوج **-21 و 50**: $-21 + 50 = 29$، و $-21 × 50 = -1050$. **هذا هو الزوج المطلوب!** إذن: $س^2 + 29س - 1050 = (س - 21)(س + 50) = 0$.
5. **الخطوة 5: إيجاد قيم س** $(س - 21)(س + 50) = 0$ 1. $س - 21 = 0$ → $س = 21$ 2. $س + 50 = 0$ → $س = -50$
6. **الخطوة 6 (ج): تفسير الإجابتين** 1. **$س = 21$ متراً:** هذا الحل **مقبول** تماماً. فهو يمثل عرضاً موجباً للحوض. - **العرض = 21 م** - **الطول = 21 + 29 = 50 م** - **التحقق:** المساحة = $21 × 50 = 1050$ م². (صحيح) 2. **$س = -50$ متراً:** هذا الحل **مرفوض** من الناحية العملية (الفيزيائية). لأن العرض لا يمكن أن يكون طولاً سالباً. ولكن من الناحية الجبرية، فإنه يحقق المعادلة.
7. **الإجابة النهائية:** أ) المتغير: $س$ هو عرض الحوض بالمتر. المعادلة: $س(س + 29) = 1050$. ب) حل المعادلة: $س = 21$ أو $س = -50$. ج) التفسير: الحل $س = 21$ مقبول ويمثل عرض الحوض الفعلي (21 م). الحل $س = -50$ غير مقبول عملياً لأن الأطوال لا تكون سالبة.

حلل كثيرة الحدود التالية: س² + ١٤ س + ٤٩

• أ) (س + ٧)²
• ب) (س - ٧)²
• ج) (س + ٧)(س + ٦)
• د) (س² + ٧)²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (س + ٧)²

الشرح: ١. تحقق ما إذا كانت ثلاثية الحدود مربعاً كاملاً. ٢. الحد الأول س² هو مربع س. ٣. الحد الأخير ٤٩ هو مربع ٧. ٤. الحد الأوسط ١٤س هو ضعف حاصل ضرب س × ٧ (أي ٢ × س × ٧). ٥. إذن، هي مربع كامل بصيغة (س + ٧)².

تلميح: تذكر صيغة مربع كامل (أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب²

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حلل كثيرة الحدود التالية: س² - ٧ س - ٣٠

• أ) (س + ١٠)(س - ٣)
• ب) (س - ٦)(س + ٥)
• ج) (س - ٥)(س + ٦)
• د) (س - ١٠)(س + ٣)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (س - ١٠)(س + ٣)

الشرح: ١. ابحث عن عددين حاصل ضربهما -٣٠ وحاصل جمعهما -٧. ٢. العددان هما ٣ و -١٠. ٣. اكتب التحليل: (س + ٣)(س - ١٠).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الثابت (-٣٠) وحاصل جمعهما معامل الحد الأوسط (-٧).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التالية وتحقق من صحة الحل: س² - ٤ س = ٢١

• أ) س = -٧، س = ٣
• ب) س = ٦، س = -٤
• ج) س = ٧، س = -٣
• د) س = -٧، س = -٣

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = ٧، س = -٣

الشرح: ١. انقل ٢١ إلى الطرف الأيسر لتصبح المعادلة: س² - ٤س - ٢١ = ٠. ٢. حلل ثلاثية الحدود: ابحث عن عددين حاصل ضربهما -٢١ وحاصل جمعهما -٤. العددان هما ٣ و -٧. ٣. تصبح المعادلة: (س + ٣)(س - ٧) = ٠. ٤. بتطبيق خاصية الضرب الصفري: س + ٣ = ٠ أو س - ٧ = ٠. ٥. الحلول هي: س = -٣ أو س = ٧.

تلميح: اكتب المعادلة بالصورة القياسية أولاً (أس² + ب س + ج = ٠)، ثم قم بالتحليل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اشترت لطيفة إطارًا لصورة، إلا أن الصورة كانت أكبر من الإطار. لذا فإنها بحاجة إلى تصغير طول الصورة وعرضها بالمقدار نفسه، على أن تصبح مساحتها نصف مساحتها الأصلية. فإذا كان بعدا الصورة الأصلية ١٦، ١٢ سم، فما بعدا الصورة المصغرة؟

• أ) الطول ١٢ سم والعرض ٨ سم
• ب) الطول ٨ سم والعرض ١٢ سم
• ج) الطول ١٠ سم والعرض ٦ سم
• د) الطول ١٣ سم والعرض ٩ سم

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: الطول ١٢ سم والعرض ٨ سم

الشرح: ١. المساحة الأصلية: ١٦ × ١٢ = ١٩٢ سم². ٢. المساحة المصغرة: ١٩٢ ÷ ٢ = ٩٦ سم². ٣. نفرض أن س هو مقدار التصغير. الأبعاد الجديدة: (١٦ - س)، (١٢ - س). ٤. المعادلة: (١٦ - س)(١٢ - س) = ٩٦. توسيع المعادلة: س² - ٢٨س + ١٩٢ = ٩٦. ٥. الصورة القياسية: س² - ٢٨س + ٩٦ = ٠. ٦. حلل المعادلة: (س - ٤)(س - ٢٤) = ٠. إذن س = ٤ أو س = ٢٤. ٧. نرفض س = ٢٤ لأنه يجعل الأبعاد سالبة. نأخذ س = ٤. ٨. الأبعاد المصغرة: الطول = ١٦ - ٤ = ١٢ سم، العرض = ١٢ - ٤ = ٨ سم.

تلميح: اكتب معادلة تربيعية تمثل المساحة الجديدة بعد التصغير، ثم قم بحلها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حل المعادلة التالية وتحقق من صحة الحل: ن² - ١٢ ن = ٢٧

• أ) ن = ٦ + ٣√٧، ن = ٦ - ٣√٧
• ب) ن = ٩، ن = -٣
• ج) ن = -٦ + ٣√٧، ن = -٦ - ٣√٧
• د) ن = ١٢ + ٦√٧، ن = ١٢ - ٦√٧

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ن = ٦ + ٣√٧، ن = ٦ - ٣√٧

الشرح: ١. انقل ٢٧ إلى الطرف الأيسر: ن² - ١٢ن - ٢٧ = ٠. ٢. نحاول التحليل: نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٢٧ ومجموعهما -١٢. لا توجد عوامل صحيحة تحقق ذلك. ٣. استخدم القانون العام: ن = [-ب ± √(ب² - ٤أج)] / ٢أ. هنا أ=١، ب=-١٢، ج=-٢٧. ٤. المميز = (-١٢)² - ٤(١)(-٢٧) = ١٤٤ + ١٠٨ = ٢٥٢. ٥. ن = [١٢ ± √٢٥٢] / ٢. بسّط √٢٥٢ = √(٣٦ × ٧) = ٦√٧. ٦. ن = [١٢ ± ٦√٧] / ٢ = ٦ ± ٣√٧. ٧. الحلول هي ن = ٦ + ٣√٧ ون = ٦ - ٣√٧.

تلميح: ابدأ بكتابة المعادلة في الصورة القياسية، وإذا لم تتمكن من التحليل استخدم القانون العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حل المعادلة التربيعية التالية: س² + ١٤ س + ٢٤ = ٠

• أ) س = 2، س = 12
• ب) س = -4، س = -6
• ج) س = 2، س = -12
• د) س = -2، س = -12

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س = -2، س = -12

الشرح: ١. المعادلة في الصورة القياسية $س^2 + ب س + ج = 0$. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما 24 وحاصل جمعهما 14. العددان هما 2 و 12. ٣. نحلل المعادلة إلى $(س + 2)(س + 12) = 0$. ٤. نساوي كل عامل بالصفر: $س + 2 = 0$ أو $س + 12 = 0$. ٥. إذن $س = -2$ أو $س = -12$.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الثابت (24) وحاصل جمعهما معامل الحد الأوسط (14).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التربيعية التالية: ن² - ٣ ن + ٢ = ٠

• أ) ن = -1، ن = -2
• ب) ن = 1، ن = 2
• ج) ن = -1، ن = 2
• د) ن = 0، ن = 3

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ن = 1، ن = 2

الشرح: ١. المعادلة في الصورة القياسية $ن^2 + ب ن + ج = 0$. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما 2 وحاصل جمعهما -3. العددان هما -1 و -2. ٣. نحلل المعادلة إلى $(ن - 1)(ن - 2) = 0$. ٤. نساوي كل عامل بالصفر: $ن - 1 = 0$ أو $ن - 2 = 0$. ٥. إذن $ن = 1$ أو $ن = 2$.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما الحد الثابت (2) وحاصل جمعهما معامل الحد الأوسط (-3).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

مساحة مثلث ٣٦ سم²، ويزيد ارتفاعه ٦ سم على طول قاعدته. ما ارتفاعه وطول قاعدته؟

• أ) القاعدة 8 سم، الارتفاع 14 سم
• ب) القاعدة 4 سم، الارتفاع 10 سم
• ج) القاعدة 6 سم، الارتفاع 12 سم
• د) القاعدة 9 سم، الارتفاع 15 سم

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: القاعدة 6 سم، الارتفاع 12 سم

الشرح: ١. افرض القاعدة $س$ سم. إذن الارتفاع $س + 6$ سم. ٢. مساحة المثلث = $\frac{1}{2} \times القاعدة \times الارتفاع$. ٣. $\frac{1}{2} س(س + 6) = 36 \Rightarrow س^2 + 6س - 72 = 0$. ٤. نحلل المعادلة: $(س + 12)(س - 6) = 0$. ٥. $س = -12$ (مرفوض لأن الطول لا يكون سالب) أو $س = 6$. ٦. القاعدة = 6 سم، الارتفاع = $6 + 6 = 12$ سم.

تلميح: استخدم صيغة مساحة المثلث (نصف القاعدة في الارتفاع)، وعبر عن الارتفاع بدلالة القاعدة. تذكر أن الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يزيد طول حوض سباحة مستطيل الشكل ٢٩ متراً عن عرضه، ومساحة سطحه ١٠٥٠ م². ما بُعدا الحوض (الطول والعرض)؟

• أ) العرض 20 م، الطول 49 م
• ب) العرض 30 م، الطول 59 م
• ج) العرض 21 م، الطول 50 م
• د) العرض 25 م، الطول 54 م

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العرض 21 م، الطول 50 م

الشرح: ١. نفرض العرض $س$ متراً. إذن الطول $س + 29$ متراً. ٢. مساحة المستطيل = الطول × العرض. إذن $س(س + 29) = 1050$. ٣. نبسط المعادلة: $س^2 + 29س - 1050 = 0$. ٤. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -1050 وحاصل جمعهما 29. العددان هما 50 و -21. ٥. نحلل المعادلة إلى $(س + 50)(س - 21) = 0$. ٦. $س = -50$ (مرفوض لأن الطول لا يكون سالب) أو $س = 21$. ٧. إذن العرض = 21 م، والطول = $21 + 29 = 50$ م.

تلميح: استخدم صيغة مساحة المستطيل، وعبر عن الطول بدلالة العرض. ثم حل المعادلة التربيعية الناتجة. تذكر أن الأطوال لا تكون سالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حل المعادلة التربيعية التالية: ٤ أ² + ٨ أ - ٤٨ = ٠

• أ) أ = -٢، أ = ٦
• ب) أ = ٤، أ = -٣
• ج) أ = -١ + جذر ١٣، أ = -١ - جذر ١٣
• د) أ = ٨، أ = -٦

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ = -١ + جذر ١٣، أ = -١ - جذر ١٣

الشرح: ١. قسمة المعادلة على ٤: أ² + ٢أ - ١٢ = ٠. ٢. بما أنها لا تحلل بعوامل صحيحة، نستخدم القانون العام: أ = [-ب ± جذر(ب² - ٤أج)] / ٢أ. ٣. أ = [-٢ ± جذر(٢² - ٤(١)(-١٢))] / ٢(١). ٤. أ = [-٢ ± جذر(٤ + ٤٨)] / ٢ = [-٢ ± جذر ٥٢] / ٢. ٥. تبسيط جذر ٥٢ = جذر(٤ × ١٣) = ٢ جذر ١٣. ٦. أ = [-٢ ± ٢ جذر ١٣] / ٢ = -١ ± جذر ١٣.

تلميح: قسم المعادلة على ٤ أولاً، ثم استخدم القانون العام لحل المعادلات التربيعية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

هندسة: تمثل العبارة (س² - ٤ س - ١٢) سم² مساحة مستطيل طوله (س + ٢) سم. فما عرضه؟

• أ) العرض: (س + ٤) سم
• ب) العرض: (س - ٤) سم
• ج) العرض: (س + ٦) سم
• د) العرض: (س - ٦) سم

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: العرض: (س - ٦) سم

الشرح: ١. العرض = المساحة ÷ الطول = (س² - ٤س - ١٢) ÷ (س + ٢). ٢. نحلل التعبير التربيعي س² - ٤س - ١٢ إلى عوامله. ٣. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -١٢ وحاصل جمعهما -٤. ٤. العددان هما ٢ و -٦. ٥. إذن: س² - ٤س - ١٢ = (س + ٢)(س - ٦). ٦. العرض = (س + ٢)(س - ٦) ÷ (س + ٢) = س - ٦.

تلميح: مساحة المستطيل = الطول × العرض. حلل تعبير المساحة إلى عوامله.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة التربيعية التالية: ك² + ١١ ك + ٢٨ = ٠

• أ) ك = -٤، ك = -٧
• ب) ك = ٤، ك = ٧
• ج) ك = -٢، ك = -١٤
• د) ك = ٢، ك = ١٤

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ك = -٤، ك = -٧

الشرح: ١. المعادلة بالصورة القياسية ك² + ١١ك + ٢٨ = ٠. ٢. نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٢٨ وحاصل جمعهما ١١. ٣. العددان هما ٤ و ٧. ٤. التحليل: (ك + ٤)(ك + ٧) = ٠. ٥. باستخدام خاصية الضرب الصفري: ك + ٤ = ٠ أو ك + ٧ = ٠. ٦. حلول المعادلة هي ك = -٤ أو ك = -٧.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما ٢٨ وحاصل جمعهما ١١.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة التربيعية التالية: س² + ١٧ س + ٤٢ = ٠

• أ) س = 3، س = 14
• ب) س = -3، س = -14
• ج) س = 6، س = 7
• د) س = -6، س = -7

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = -3، س = -14

الشرح: 1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (ج) 42 وحاصل جمعهما (ب) 17. 2. العددان اللذان يحققان الشرطين هما 3 و 14. 3. نحلل المعادلة إلى عواملها: (س + 3)(س + 14) = 0. 4. نطبق خاصية الضرب الصفري: س + 3 = 0 أو س + 14 = 0. 5. الحل هو س = -3 أو س = -14.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما 42 وحاصل جمعهما 17.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة التربيعية التالية: ص² - ١٧ ص - ٧٢ = ٠

• أ) ص = (17 + جذر(577)) / 2
• ب) ص = (17 + جذر(577)) / 2، ص = (17 - جذر(577)) / 2
• ج) ص = (-17 + جذر(577)) / 2، ص = (-17 - جذر(577)) / 2
• د) ص = (17 + جذر(1)) / 2، ص = (17 - جذر(1)) / 2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ص = (17 + جذر(577)) / 2، ص = (17 - جذر(577)) / 2

الشرح: 1. المعادلة على الصورة: أ ص² + ب ص + ج = 0، حيث أ=1، ب=-17، ج=-72. 2. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -72 وحاصل جمعهما -17، لا توجد أعداد صحيحة تحقق هذا. 3. نستخدم القانون العام: ص = (-ب ± جذر(ب² - 4أج)) / 2أ. 4. نحسب المميز: (-17)² - 4(1)(-72) = 289 + 288 = 577. 5. الحل هو ص = (17 ± جذر(577)) / 2.

تلميح: إذا لم تتمكن من التحليل إلى عوامل صحيحة، استخدم القانون العام لحل المعادلات التربيعية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

حل المعادلة التربيعية التالية: س² - ٢٢ س + ٤٠ = ٠

• أ) س = -2، س = -20
• ب) س = 4، س = 10
• ج) س = 2، س = 20
• د) س = -4، س = -10

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س = 2، س = 20

الشرح: 1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (ج) 40 وحاصل جمعهما (ب) -22. 2. العددان اللذان يحققان الشرطين هما -2 و -20. 3. نحلل المعادلة إلى عواملها: (س - 2)(س - 20) = 0. 4. نطبق خاصية الضرب الصفري: س - 2 = 0 أو س - 20 = 0. 5. الحل هو س = 2 أو س = 20.

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما 40 وحاصل جمعهما -22.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة التربيعية التالية: هـ² + ٨ هـ = ٤٨

• أ) هـ = -4، هـ = 12
• ب) هـ = 6، هـ = -8
• ج) هـ = 8، هـ = -6
• د) هـ = 4، هـ = -12

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: هـ = 4، هـ = -12

الشرح: 1. نكتب المعادلة بالصورة القياسية (اجعل أحد الطرفين صفراً): هـ² + ٨ هـ - ٤٨ = ٠. 2. نبحث عن عددين حاصل ضربهما (ج) -48 وحاصل جمعهما (ب) 8. 3. العددان اللذان يحققان الشرطين هما -4 و 12. 4. نحلل المعادلة إلى عواملها: (هـ - 4)(هـ + 12) = 0. 5. نطبق خاصية الضرب الصفري: هـ - 4 = 0 أو هـ + 12 = 0. 6. الحل هو هـ = 4 أو هـ = -12.

تلميح: أعد ترتيب المعادلة لتكون على الصورة القياسية أ س² + ب س + ج = 0 ثم قم بالتحليل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط