مراجعة المفردات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 المعادلات التربيعية: س² + ب س + جـ

المفاهيم الأساسية

القيمة المطلقة: تمثل المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. وتُكتب على الصورة |ن|.

حل المعادلات بالتحليل: يمكن كتابة المعادلات التربيعية على الصورة القياسية: أس² + ب س + جـ = ٠، ويمكن حل بعضها بالتحليل ثم استعمال خاصية الضرب الصفري.

خريطة المفاهيم

```markmap

تحليل ثلاثيات الحدود باستعمال بطاقات الجبر

المبدأ الأساسي

تمثيل ثلاثية الحدود بمستطيل

إذا أمكن تكوين مستطيل ⇒ قابلة للتحليل
إذا لم يُمكن تكوين مستطيل ⇒ غير قابلة للتحليل

خطوات التحليل

الخطوة ١

مثل العبارة ببطاقات الجبر

الخطوة ٢

ضع بطاقة س² في الزاوية
رتب بطاقات الواحد لتكون مستطيلاً (جرب عوامل الحد الثابت)

الخطوة ٣

أكمل المستطيل ببطاقات س
اقرأ أبعاد المستطيل (الطول والعرض) ⇒ هما العاملان

حالات خاصة

عندما يكون الحد الأوسط سالباً والثابت موجباً

مثال: س² - ٥س + ٦
الناتج: (س - ٢)(س - ٣)

عندما يكون الحد الثابت سالباً

مثال: س² - ٤س - ٥
قد نحتاج لإضافة أزواج صفرية
الناتج: (س + ١)(س - ٥)

تحليل س² + ب س + جـ (جديد)

القاعدة العامة

(س + م)(س + ن) = س² + (م + ن)س + (م × ن)

خطوات التحليل

ابحث عن عددين (م، ن)

مجموعهما = ب (معامل س)

حاصل ضربهما = جـ (الحد الثابت)

اكتب الناتج: (س + م)(س + ن)

إشارات العوامل

إذا كان جـ موجباً ⇒ لم، ن لهما الإشارة نفسها
إذا كانت ب موجبة ⇒ لم، ن موجبان
إذا كانت ب سالبة ⇒ لم، ن سالبان

الحالة ١: ب، جـ موجبين

مثال: س² + ٩س + ٢٠
العاملان موجبان (٤، ٥)
الناتج: (س + ٤)(س + ٥)

الحالة ٢: ب سالبة، جـ موجبة

مثال: س² - ٨س + ١٢
العاملان سالبان (-٢، -٦)
الناتج: (س - ٢)(س - ٦)

الحالة ٣: جـ سالب (ب موجبة أو سالبة)

مثال أ: س² + ٢س - ١٥
جـ = -١٥ (سالب) ⇒ العاملان إشارتهما مختلفة
ب = ٢ (موجب) ⇒ العامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون موجباً
العاملان: ٥ و -٣
الناتج: (س + ٥)(س - ٣)
مثال ب: س² - ٧س - ١٨
جـ = -١٨ (سالب) ⇒ العاملان إشارتهما مختلفة
ب = -٧ (سالب) ⇒ العامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون سالباً
العاملان: -٩ و ٢
الناتج: (س - ٩)(س + ٢)

```

نقاط مهمة

عند تحليل س² + ب س + جـ، ابحث عن عددين مجموعهما (ب) وحاصل ضربهما (جـ).
إذا كان الحد الثابت (جـ) سالباً، فإن العاملين لهما إشارتان مختلفتان.
إشارة معامل س (ب) تحدد إشارة العامل ذي القيمة المطلقة الأكبر.
يمكن التحقق من صحة التحليل عن طريق فك الأقواس أو تمثيل الدالة بيانياً.

---

حل مثال

مثال ٣: حل كل كثيرة حدود فيما يأتي:

أ) س² + ٢س - ١٥

* المعطيات: أ = ١، ب = ٢، جـ = -١٥.

* الخطوات:

1. بما أن جـ سالب (-١٥)، فإن العاملين لهما إشارتان مختلفتان.

2. بما أن ب موجب (٢)، فإن العامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون موجباً.

3. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -١٥ ومجموعهما ٢.

4. عوامل -١٥: (١، -١٥) مجموعها -١٤، (-١، ١٥) مجموعها ١٤، (٣، -٥) مجموعها -٢، (-٣، ٥) مجموعها ٢.

* الحل: العاملان هما ٥ و -٣.

* التحليل: س² + ٢س - ١٥ = (س + ٥)(س - ٣)

* التحقق: (س - ٣)(س + ٥) = س² + ٥س - ٣س - ١٥ = س² + ٢س - ١٥ ✓

ب) س² - ٧س - ١٨

* المعطيات: أ = ١، ب = -٧، جـ = -١٨.

* الخطوات:

1. بما أن جـ سالب (-١٨)، فإن العاملين لهما إشارتان مختلفتان.

2. بما أن ب سالب (-٧)، فإن العامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون سالباً.

3. نبحث عن عددين حاصل ضربهما -١٨ ومجموعهما -٧.

4. عوامل -١٨: (١، -١٨) مجموعها -١٧، (-١، ١٨) مجموعها ١٧، (٢، -٩) مجموعها -٧، (-٢، ٩) مجموعها ٧، (٣، -٦) مجموعها -٣.

* الحل: العاملان هما -٩ و ٢.

* التحليل: س² - ٧س - ١٨ = (س - ٩)(س + ٢)

* التحقق: يمكن التحقق بيانياً بتمثيل الدالتين ص = س² - ٧س - ١٨ وص = (س + ٢)(س - ٩) على الشاشة نفسها، فإذا كان التمثيلان متطابقين يكون الحل صحيحاً.

---

تحقق من فهمك

يوجد قسم بعنوان "تحقق من فهمك" في الصفحة، لكن المحتوى المقدم في البيانات لا يحتوي على أسئلة أو تمارين محددة داخل هذا القسم يمكن حلها. يبدو أن القسم قد يكون عنواناً فقط أو أن الأسئلة مرتبطة برسم بياني (مثل f(x) = x² - 7x - 18) موجود في الصفحة. لذلك، لا يمكن تقديم حلول محددة في هذا القسم بناءً على البيانات المتاحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

عندما تكون ج سالبة، يكون لعامليها إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما موجب وأيهما سالب، انظر إلى إشارة ب؛ فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له إشارة ب نفسها.

نوع: محتوى تعليمي

القيمة المطلقة: تمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. وتكتب على الصورة | ن |.

مثال ٣

نوع: محتوى تعليمي

تحليل س² + ب س + ج عندما تكون ج سالبة
حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي:
أ) س² + ٢س - ١٥
في ثلاثية الحدود هذه ب = ٢، ج = -١٥ وبما أن ج سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الإشارة. وبما أن ب موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجباً.
اكتب أزواجاً من عوامل العدد -١٥، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالباً والآخر موجباً، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما ٢.

حل المثال ٣ (أ)

نوع: محتوى تعليمي

س² + ٢س - ١٥ = (س + م)(س + ن)
= (س - ٣)(س + ٥)
تحقق: (س - ٣)(س + ٥) = س² + ٥س - ٣س - ١٥
= س² + ٢س - ١٥
العاملان الصحيحان هما -٣، ٥
اكتب القاعدة
م = -٣، ن = ٥
طريقة التوزيع بالترتيب
بسط

مثال ٣ (ب)

نوع: محتوى تعليمي

ب) س² - ٧س - ١٨
في ثلاثية الحدود هذه ب = -٧، ج = -١٨.، إذن م أو ن سالبة، وليس كلاهما. وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون سالباً.
اكتب أزواجاً من عوامل العدد -١٨، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالباً والآخر موجباً، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما -٧.

حل المثال ٣ (ب)

نوع: محتوى تعليمي

س² - ٧س - ١٨ = (س + م)(س + ن)
= (س + ٢)(س - ٩)
تحقق: مثّل المعادلتين ص = س² - ٧س - ١٨ ،
ص = (س + ٢)(س - ٩) بيانياً على الشاشة نفسها،
بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حُللت بصورة صحيحة.
العاملان الصحيحان هما ٢، -٩
اكتب القاعدة
م = ٢، ن = -٩

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

٣أ

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٣أ) ص² + ١٣ص - ٤٨

٣ب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

٣ب) ر² - ٢ر - ٢٤

حل المعادلات بالتحليل

نوع: محتوى تعليمي

حل المعادلات بالتحليل: يمكن كتابة المعادلات التربيعية على الصورة القياسية: أ س² + ب س + ج = ٠ ، أ ≠ ٠ ويمكن حل بعض المعادلات على هذه الصورة بالتحليل، ثم استعمال خاصية الضرب الصفري.

🔍 عناصر مرئية

📄 النص الكامل للصفحة

عندما تكون ج سالبة، يكون لعامليها إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما موجب وأيهما سالب، انظر إلى إشارة ب؛ فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له إشارة ب نفسها.

--- SECTION: مراجعة المفردات ---
القيمة المطلقة: تمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. وتكتب على الصورة | ن |.

--- SECTION: مثال ٣ ---
تحليل س² + ب س + ج عندما تكون ج سالبة
حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي:
أ) س² + ٢س - ١٥
في ثلاثية الحدود هذه ب = ٢، ج = -١٥ وبما أن ج سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الإشارة. وبما أن ب موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجباً.
اكتب أزواجاً من عوامل العدد -١٥، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالباً والآخر موجباً، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما ٢.

--- SECTION: حل المثال ٣ (أ) ---
س² + ٢س - ١٥ = (س + م)(س + ن)
= (س - ٣)(س + ٥)
تحقق: (س - ٣)(س + ٥) = س² + ٥س - ٣س - ١٥
= س² + ٢س - ١٥
العاملان الصحيحان هما -٣، ٥
اكتب القاعدة
م = -٣، ن = ٥
طريقة التوزيع بالترتيب
بسط

--- SECTION: مثال ٣ (ب) ---
ب) س² - ٧س - ١٨
في ثلاثية الحدود هذه ب = -٧، ج = -١٨.، إذن م أو ن سالبة، وليس كلاهما. وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون سالباً.
اكتب أزواجاً من عوامل العدد -١٨، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالباً والآخر موجباً، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما -٧.

--- SECTION: حل المثال ٣ (ب) ---
س² - ٧س - ١٨ = (س + م)(س + ن)
= (س + ٢)(س - ٩)
تحقق: مثّل المعادلتين ص = س² - ٧س - ١٨ ،
ص = (س + ٢)(س - ٩) بيانياً على الشاشة نفسها،
بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حُللت بصورة صحيحة.
العاملان الصحيحان هما ٢، -٩
اكتب القاعدة
م = ٢، ن = -٩

تحقق من فهمك

--- SECTION: ٣أ ---
٣أ) ص² + ١٣ص - ٤٨

--- SECTION: ٣ب ---
٣ب) ر² - ٢ر - ٢٤

--- SECTION: حل المعادلات بالتحليل ---
حل المعادلات بالتحليل: يمكن كتابة المعادلات التربيعية على الصورة القياسية: أ س² + ب س + ج = ٠ ، أ ≠ ٠ ويمكن حل بعض المعادلات على هذه الصورة بالتحليل، ثم استعمال خاصية الضرب الصفري.

--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: Untitled
Description: No description
Table Structure:
Headers: عوامل العدد -١٥ | مجموع العاملين
Rows:
Row 1: ١، -١٥ | -١٤
Row 2: ٣، -٥ | -٢
Row 3: -٣، ٥ | ٢
Context: يوضح البحث عن زوج العوامل الذي مجموعه يساوي معامل الحد الأوسط (ب=٢).

**TABLE**: Untitled
Description: No description
Table Structure:
Headers: عوامل العدد -١٨ | مجموع العاملين
Rows:
Row 1: ١، -١٨ | -١٧
Row 2: ٢، -٩ | -٧
Row 3: -٦، +٣ | -٣
Context: يوضح البحث عن زوج العوامل الذي مجموعه يساوي معامل الحد الأوسط (ب=-٧).

**GRAPH**: Untitled
Description: No description
Context: تمثيل بياني للتحقق من صحة التحليل الجبري لثلاثية الحدود.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال ٣أ: تحقق من فهمك: ص² + ١٣ص - ٤٨

الإجابة: (ص + ١٦)(ص - ٣)

خطوات الحل:

**الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | القيمة/العبارة | |--------|----------------| | **العبارة الرياضية المعطاة** | $ص^2 + 13ص - 48$ | | **المطلوب** | تحليل العبارة التربيعية إلى عاملين. |
**الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** مبدأ تحليل **ثلاثي الحدود** من الصورة $س^2 + ب س + جـ$ عن طريق إيجاد عددين: 1. حاصل **ضربهما** يساوي $جـ$ (الحد الثابت). 2. حاصل **جمعهما** يساوي $ب$ (معامل الحد الأوسط).
**الخطوة 3: تطبيق المبدأ على العبارة المعطاة** لدينا العبارة: $ص^2 + 13ص - 48$ حيث: - $ب = 13$ (معامل الحد الأوسط) - $جـ = -48$ (الحد الثابت) نبحث عن عددين **حاصل ضربهما = -48** و **حاصل جمعهما = +13**. > ملاحظة: بما أن حاصل الضرب **سالب**، فهذا يعني أن العددين إشارتيهما **مختلفتين** (واحد موجب والآخر سالب). وبما أن حاصل الجمع **موجب**، فإن العدد **الموجب** قيمته المطلقة أكبر من العدد السالب.
**الخطوة 4: استكشاف الأزواج الممكنة وحساب مجموعها** | العدد الأول | العدد الثاني | حاصل الضرب (جـ) | حاصل الجمع (ب) | |-------------|--------------|------------------|----------------| | 48 | -1 | $48 \times (-1) = -48$ | $48 + (-1) = 47$ | ❌ لا يتطابق | | 24 | -2 | $24 \times (-2) = -48$ | $24 + (-2) = 22$ | ❌ لا يتطابق | | 16 | -3 | $16 \times (-3) = -48$ | $16 + (-3) = 13$ | ✅ **يتطابق** | | 12 | -4 | $12 \times (-4) = -48$ | $12 + (-4) = 8$ | ❌ لا يتطابق | | 8 | -6 | $8 \times (-6) = -48$ | $8 + (-6) = 2$ | ❌ لا يتطابق |
**الخطوة 5: كتابة العبارة المحللة** من الجدول في الخطوة السابقة، العددان المطلوبان هما **+16** و **-3**. لذلك، يمكن كتابة العبارة الأصلية على صورة حاصل ضرب عاملين هما: $(ص + 16)(ص - 3)$ > للتأكد من صحة الحل، يمكننا فك الأقواس: > $(ص + 16)(ص - 3) = ص(ص - 3) + 16(ص - 3) = ص^2 - 3ص + 16ص - 48 = ص^2 + 13ص - 48$
**الإجابة النهائية:** تحليل العبارة التربيعية $ص^2 + 13ص - 48$ هو حاصل ضرب العامل $(ص + 16)$ في العامل $(ص - 3)$.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما تعريف القيمة المطلقة للعدد ن؟

أ) العدد ن نفسه إذا كان موجباً، ومعكوسه إذا كان سالباً.
ب) المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد.
ج) مقلوب العدد ن.
د) القيمة العددية للعدد ن بدون إشارة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد.

الشرح: تعريف القيمة المطلقة هو أنها تمثل المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، ولذلك تكون دائماً قيمة غير سالبة.

تلميح: تذكر علاقتها بخط الأعداد وكيف تُعبّر عن البُعد.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

عند تحليل ثلاثية حدود من الصورة س² + ب س + جـ حيث جـ سالبة، ما هي إشارة عامليها؟

أ) يكون لعامليها نفس الإشارة التي لب.
ب) يكون لعامليها إشارتان موجبتان دائماً.
ج) يكون لعامليها إشارتان مختلفتان، والعامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يأخذ إشارة ب.
د) يكون لعامليها إشارتان سالبتان دائماً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يكون لعامليها إشارتان مختلفتان، والعامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يأخذ إشارة ب.

الشرح: إذا كان الحد الثابت (جـ) سالباً، فهذا يعني أن أحد عاملي ثلاثية الحدود موجب والآخر سالب، لأن حاصل ضربهما يجب أن يكون سالباً. ولتحديد أي عامل هو الموجب وأيهما السالب، ننظر إلى إشارة الحد الأوسط (ب)؛ فالعامل الذي له القيمة المطلقة الأكبر يأخذ إشارة ب.

تلميح: فكر في كيفية الحصول على حاصل ضرب سالب ومجموع موجب أو سالب.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الخطوة الأولى والأكثر أهمية عند تحليل ثلاثية حدود س² + ب س + جـ؟

أ) البحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي جـ وحاصل جمعهما يساوي ب.
ب) تحديد إشارة العاملين بناءً على إشارة جـ فقط.
ج) إيجاد الجذر التربيعي للحد الثابت جـ.
د) تحويل ثلاثية الحدود إلى صيغة (س + ب)(س + جـ).

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: البحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي جـ وحاصل جمعهما يساوي ب.

الشرح: المبدأ الأساسي لتحليل ثلاثية الحدود من الصورة س² + ب س + جـ هو إيجاد عددين (م، ن) بحيث يكون حاصل ضربهما (م × ن) يساوي الحد الثابت جـ، وحاصل جمعهما (م + ن) يساوي معامل الحد الأوسط ب. هذه هي نقطة البداية لأي تحليل.

تلميح: تذكر المبدأ الأساسي لتحليل ثلاثية الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما تحليل ثلاثية الحدود ص² + ١٣ص - ٤٨؟

أ) (ص - ١٦)(ص + ٣)
ب) (ص + ٨)(ص - ٦)
ج) (ص - ١٢)(ص + ٤)
د) (ص + ١٦)(ص - ٣)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (ص + ١٦)(ص - ٣)

الشرح: 1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما جـ = -48 وحاصل جمعهما ب = 13. 2. بما أن جـ سالبة، فالعددان مختلفان في الإشارة. 3. بما أن ب موجبة، فإن العدد الموجب له قيمة مطلقة أكبر. 4. الأزواج الممكنة لـ -48 هي: (1, -48), (2, -24), (3, -16), (4, -12), (6, -8), (8, -6), (12, -4), (16, -3), (24, -2), (48, -1). 5. من بين هذه الأزواج، (16, -3) هو الزوج الذي مجموعه 13. 6. إذن، تحليل العبارة هو (ص + ١٦)(ص - ٣).

تلميح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما -٤٨ وحاصل جمعهما ١٣.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط