صفحة 80 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 31: تحديات متعددة، ستكتشف في هذا السؤال، طريقة التحليل عندما يكون المعامل الرئيس للعبارة التربيعية لا يساوي ١. أ) جدول، انقل الجدول الآتي، ثم أكمله: (الجدول يحتوي على الأعمدة: ضرب ثنائي حد، ناتج ضرب ثنائي الحد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب، س٢ + ب س + ج، م × ن، م + ن. والصفوف: (س+٤)(س+١٠), (س+٣)(س+٥), (س+١)(س+٤), (س+٥)(س+٢)). ب) تحليلاً، كيف يرتبط العددان م، ن بالحدين أ، ج؟ ج) تحليلاً، كيف يرتبط العددان م، ن بالحد ب؟

الإجابة: أ) (س+٤)(س+١٠) -> س٢+١٤س+٤٠ -> س٢+١٤س+٤٠ -> ٤٠ -> ١٤; (س+٣)(س+٥) -> س٢+٨س+١٥ -> س٢+٨س+١٥ -> ١٥ -> ٨; (س+١)(س+٤) -> س٢+٥س+٤ -> س٢+٥س+٤ -> ٤ -> ٥; (س+٥)(س+٢) -> س٢+٧س+١٠ -> س٢+٧س+١٠ -> ١٠ -> ٧. ب) م × ن = ج، م + ن = ب. ج) م + ن = ب.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: إنشاء جدول المعطيات** | ضرب ثنائي حد | ناتج الضرب (طريقة التوزيع) | الصيغة $س^2 + ب س + ج$ | $م \times ن$ | $م + ن$ | |--------------|-----------------------------|----------------------|------------|----------|
2. **الخطوة 2: إكمال الجدول بالحسابات التفصيلية** 1. **للعبارة $(س+4)(س+10)$:** - التوزيع: $س \times س = س^2$، $س \times 10 = 10س$، $4 \times س = 4س$، $4 \times 10 = 40$ - الناتج: $س^2 + 10س + 4س + 40 = س^2 + 14س + 40$ - هنا $ب = 14$، $ج = 40$ - نجد عددين حاصل ضربهما $40$ ومجموعهما $14$، هما $10$ و $4$ - لذا $م \times ن = 40$، $م + ن = 14$ 2. **للعبارة $(س+3)(س+5)$:** - التوزيع: $س^2 + 5س + 3س + 15 = س^2 + 8س + 15$ - $ب = 8$، $ج = 15$ - العددان: $3$ و $5$، حاصل ضربهما $15$ ومجموعهما $8$ 3. **للعبارة $(س+1)(س+4)$:** - التوزيع: $س^2 + 4س + س + 4 = س^2 + 5س + 4$ - $ب = 5$، $ج = 4$ - العددان: $1$ و $4$، حاصل ضربهما $4$ ومجموعهما $5$ 4. **للعبارة $(س+5)(س+2)$:** - التوزيع: $س^2 + 2س + 5س + 10 = س^2 + 7س + 10$ - $ب = 7$، $ج = 10$ - العددان: $5$ و $2$، حاصل ضربهما $10$ ومجموعهما $7$ **الجدول المكتمل:** | ضرب ثنائي حد | ناتج الضرب | $س^2 + ب س + ج$ | $م \times ن$ | $م + ن$ | |--------------|------------|-----------------|------------|----------| | $(س+4)(س+10)$ | $س^2+14س+40$ | $س^2+14س+40$ | 40 | 14 | | $(س+3)(س+5)$ | $س^2+8س+15$ | $س^2+8س+15$ | 15 | 8 | | $(س+1)(س+4)$ | $س^2+5س+4$ | $س^2+5س+4$ | 4 | 5 | | $(س+5)(س+2)$ | $س^2+7س+10$ | $س^2+7س+10$ | 10 | 7 |
3. **الخطوة 3: الربط بين العددين م، ن والمعاملات أ، ج، ب** - من الجدول نلاحظ أن **حاصل ضرب $م \times ن$ يساوي دائمًا الحد الثابت $ج$** في الصيغة $س^2 + ب س + ج$. - كما نلاحظ أن **مجموع $م + ن$ يساوي دائمًا معامل الحد الأوسط $ب$** في الصيغة نفسها. > ملاحظة: في حالات التحليل التي يكون فيها المعامل الرئيس $أ = 1$، فإن العددين $م$ و $ن$ هما بالضبط العددان اللذان مجموعهما $ب$ وحاصل ضربهما $ج$.
4. **الإجابة النهائية:** - **الجزء ب:** العددان $م$ و $ن$ يحققان العلاقة **$م \times ن = ج$**. - **الجزء ج:** العددان $م$ و $ن$ يحققان العلاقة **$م + ن = ب$**.

سؤال 36: ما العبارة التي تمثل طول المستطيل في الشكل المجاور؟ (الشكل يوضح مستطيل مساحته س٢ + ٥ س – ٦ وعرضه س – ١)

الإجابة: ج) س + ٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | العبارة الجبرية | |--------|-----------------| | مساحة المستطيل | $س^2 + 5س - 6$ | | عرض المستطيل | $س - 1$ | | المطلوب | طول المستطيل |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** مساحة المستطيل = الطول × العرض، وبالتالي: $\text{الطول} = \frac{\text{المساحة}}{\text{العرض}}$
3. **الخطوة 3: إيجاد الطول عن طريق تحليل كثيرة الحدود** نريد تحليل المساحة $س^2 + 5س - 6$ إلى عوامل، أحدها هو العرض $س - 1$. **طريقة التحليل:** نبحث عن عددين حاصل ضربهما $ج = -6$ ومجموعهما $ب = 5$. | حاصل الضرب | المجموع | العددان | |------------|---------|---------| | -6 | 5 | ؟ ، ؟ | العددان هما **6 و -1** لأن $6 \times (-1) = -6$ و $6 + (-1) = 5$. لذا يمكن كتابة المساحة كالتالي: $س^2 + 5س - 6 = (س + 6)(س - 1)$
4. **الخطوة 4: إيجاد الطول** الطول = $\frac{(س + 6)(س - 1)}{(س - 1)}$ بشرط $س \neq 1$ (لأن المقام لا يساوي صفر)، يتم اختيار العامل المشترك: $\text{الطول} = س + 6$
5. **الإجابة النهائية:** العبارة التي تمثل طول المستطيل هي **$س + 6$**.

سؤال 37: هندسة، ما العبارة التي تمثل طول المستطيل في الشكل المجاور؟ (الشكل يوضح مستطيل مساحته س٢ + ٥ س – ٦ وعرضه س – ١)

الإجابة: ج) س + ٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات** - **مساحة المستطيل:** $س^2 + 5س - 6$ - **عرض المستطيل:** $س - 1$ - **المطلوب:** طول المستطيل (عبارة جبرية)
2. **الخطوة 2: استرجاع قانون مساحة المستطيل** $\text{المساحة} = \text{الطول} \times \text{العرض}$ → $\text{الطول} = \frac{\text{المساحة}}{\text{العرض}}$
3. **الخطوة 3: تحليل عبارة المساحة (كثيرة الحدود التربيعية)** لتحليل $س^2 + 5س - 6$ نبحث عن عددين: - حاصل ضربهما **-6** (الحد الثابت). - مجموعهما **+5** (معامل الحد الأوسط). بتجريب عوامل العدد -6: | العددان | حاصل الضرب | المجموع | |---------|------------|---------| | 6 و -1 | -6 | 5 | ✅ | -6 و 1 | -6 | -5 | ❌ | 3 و -2 | -6 | 1 | ❌ | -3 و 2 | -6 | -1 | ❌ إذن: $س^2 + 5س - 6 = (س + 6)(س - 1)$
4. **الخطوة 4: قسمة المساحة على العرض** $\text{الطول} = \frac{(س + 6)(س - 1)}{(س - 1)} = س + 6$ (بشرط $س \neq 1$).
5. **الإجابة النهائية:** طول المستطيل يُعطى بالعبارة **$س + 6$**.

سؤال 38: إذا كان الفرق بين ٢١ والعدد ن هو ٦، فما المعادلة التي تبين هذه العلاقة؟ أ) ن + ٢١ = ٦ ب) ن – ٢١ = ٦ ج) ٢١ + ن = ٦ د) ٢١ – ن = ٦

الإجابة: د) ٢١ – ن = ٦

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: ترجمة العبارة اللفظية إلى معادلة جبرية** العبارة: "الفرق بين 21 والعدد ن هو 6" > **تذكر:** "الفرق بين" يُفهم عادةً بأنه ناتج طرح العدد الأول من العدد الثاني أو العكس، لكن العبارة الشائعة في الرياضيات: **"الفرق بين أ و ب" تعني أ - ب إذا كان أ مُذكّراً أولاً**.
2. **الخطوة 2: كتابة الاحتمالات وتقييمها** - الاحتمال الأول: $21 - ن = 6$ - الاحتمال الثاني: $ن - 21 = 6$ نفحص كل معادلة: 1. إذا كانت $21 - ن = 6$، فبحل المعادلة: $21 - 6 = ن$، أي $ن = 15$. والفرق بين 21 و 15 هو 6 بالفعل. 2. إذا كانت $ن - 21 = 6$، فبحل المعادلة: $ن = 27$، والفرق بين 27 و 21 هو 6 أيضاً. ولكن في الصياغة العربية **"الفرق بين 21 والعدد ن"**، حيث ذُكر العدد 21 أولاً، فإن التعبير الرياضي الشائع هو **21 - ن**.
3. **الخطوة 3: اختيار المعادلة المناسبة من الخيارات** - أ) ن + 21 = 6 ← هذه تعني المجموع، وليس الفرق. - ب) ن – 21 = 6 ← هذه تعني الفرق ناقص 21 يساوي 6 (أي ن - 21 = 6). - ج) 21 + ن = 6 ← هذه تعني المجموع أيضاً. - د) 21 – ن = 6 ← هذه تعني الفرق 21 ناقص ن يساوي 6. بناءً على التفسير الشائع للعبارة اللفظية، الخيار الصحيح هو **د**.
4. **الإجابة النهائية:** المعادلة التي تبين العلاقة هي **$21 - ن = 6$**.

سؤال 39: حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: ٣ م٢ - ٦ م - ١٦ م + ٨ م

الإجابة: 3م (م - 2)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة العبارة الأصلية وتحديد الحدود المتشابهة** العبارة: $3م^2 - 6م - 16م + 8م$ الحدود المتشابهة هي الحدود التي تحتوي على $م$ من الدرجة الأولى: **$-6م$، $-16م$، $+8م$**.
2. **الخطوة 2: جمع الحدود المتشابهة** $(-6م - 16م + 8م) = (-6 -16 +8)م = (-14)م = -14م$ تصبح العبارة بعد الجمع: $3م^2 - 14م$
3. **الخطوة 3: تحليل العبارة بأخذ العامل المشترك** أكبر عامل مشترك بين الحدين $3م^2$ و $-14م$ هو **$م$**. نقسم كل حد على $م$: - $3م^2 \div م = 3م$ - $-14م \div م = -14$ لذا: $3م^2 - 14م = م(3م - 14)$
4. **ملاحظة مهمة:** الإجابة المعطاة في السؤال هي $3م(م - 2)$، والتي تناسب العبارة **$3م^2 - 6م$** (بدون الحدين $-16م$ و $+8م$). لذلك قد يكون هناك خطأ مطبعي في نص السؤال. إذا افترضنا أن العبارة الصحيحة هي $3م^2 - 6م$، فإن التحليل يكون كالتالي: 1. العامل المشترك هو $3م$. 2. $3م^2 \div 3م = م$ 3. $-6م \div 3م = -2$ 4. الناتج: $3م(م - 2)$.
5. **الإجابة النهائية:** بناءً على الإجابة المعطاة، فإن تحليل العبارة (بافتراض أنها $3م^2 - 6م$) هو **$3م(م - 2)$**.

سؤال 40: حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: ٢ س + ٨ س + ب + أ ب ج

الإجابة: 2س (1 + 4) + ب (1 + أ ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة العبارة الأصلية وتحديد الحدود المتشابهة** العبارة: $2س + 8س + ب + أ ب ج$ الحدود المتشابهة: $2س$ و $8س$ كلاهما يحويان المتغير $س$.
2. **الخطوة 2: تجميع الحدود المتشابهة وأخذ العامل المشترك** **المجموعة الأولى:** الحدود التي تحتوي على $س$: $2س + 8س$ - العامل المشترك هو $2س$. - $2س \div 2س = 1$، $8س \div 2س = 4$ - إذن: $2س + 8س = 2س(1 + 4)$ **المجموعة الثانية:** الحدود التي تحتوي على $ب$: $ب + أ ب ج$ - العامل المشترك هو $ب$. - $ب \div ب = 1$، $أ ب ج \div ب = أ ج$ - إذن: $ب + أ ب ج = ب(1 + أ ج)$
3. **الخطوة 3: كتابة العبارة بعد التحليل** بعد أخذ العامل المشترك من كل مجموعة، تصبح العبارة: $2س(1 + 4) + ب(1 + أ ج)$
4. **ملاحظة:** يمكن تبسيط $2س(1+4)$ إلى $2س \times 5 = 10س$، لكن الإجابة المطلوبة هي بالصيغة المحللة.
5. **الإجابة النهائية:** تحليل العبارة هو **$2س(1+4) + ب(1+أ ج)$**.

سؤال 41: حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: س٢ - ٦ س - ص٢ - ص + ص٢

الإجابة: س (س - 6) - ص

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: إعادة كتابة العبارة الأصلية وملاحظة الحدود المتشابهة** العبارة: $س^2 - 6س - ص^2 - ص + ص^2$ نلاحظ وجود الحدين **$-ص^2$** و **$+ص^2$** وهما متعاكسان، فيلغي كل منهما الآخر.
2. **الخطوة 2: تبسيط العبارة بإلغاء الحدود المتعاكسة** $س^2 - 6س - ص^2 - ص + ص^2 = س^2 - 6س + (-ص^2 + ص^2) - ص = س^2 - 6س + 0 - ص$ تصبح العبارة المبسطة: **$س^2 - 6س - ص$**
3. **الخطوة 3: تحليل العبارة المبسطة بأخذ العامل المشترك** - الحدان $س^2$ و $-6س$ يشتركان في العامل $س$. - نأخذ $س$ عاملًا مشتركًا منهما: $س(س - 6)$ - الحد الثالث $-ص$ ليس له عامل مشترك مع المجموعة السابقة. لذا تكون العبارة بعد التحليل الجزئي: **$س(س - 6) - ص$**
4. **الخطوة 4: التحقق من إمكانية تحليل أكثر** لا يمكن تحليل العبارة $س(س-6) - ص$ أكثر من ذلك باستخدام الطرق الأساسية (لا يوجد عامل مشترك لجميع الحدود ولا هي فرق بين مربعين ولا ثلاثية حدود تامة).
5. **الإجابة النهائية:** تحليل كثيرة الحدود هو **$س(س - 6) - ص$**.

سؤال 42: تطبيقية، يريد خالد تبليط غرفة معيشته أبعادها ٤٤٠ سم، و ٣٣٠ سم، ولديه قطع بلاط أبعادها ٢٠ سم × ٣٠ سم، و ٢٠ سم × ١٥ سم، و ٢٢ سم × ٣٠ سم. فأي الأنواع يمكنه استعمالها دون قص أي قطعة؟ فسر إجابتك.

الإجابة: يمكنه استعمال البلاط: 30 × 20، و 15 × 20، و 30 × 22 (بدون قص).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة معطيات المسألة في جدول** | العنصر | البعد (سم) | |--------|-------------| | طول الغرفة | 440 | | عرض الغرفة | 330 | | البلاط النوع الأول | 20 × 30 | | البلاط النوع الثاني | 20 × 15 | | البلاط النوع الثالث | 22 × 30 |
2. **الخطوة 2: الشرط المطلوب** أن يستعمل خالد البلاط **دون قص أي قطعة**، وهذا يعني أن أبعاد الغرفة يجب أن تكون **قابلة للقسمة** على أبعاد البلاط (طولاً وعرضاً) دون باقٍ.
3. **الخطوة 3: فحص كل نوع من البلاط** **أولاً: البلاط 30 × 20 سم** - الطول: 440 ÷ 30 = 14.666... (غير قابل للقسمة) - العرض: 330 ÷ 20 = 16.5 (غير قابل للقسمة) > ولكن يجب فحص كلا البعدين بشكل صحيح: نحتاج أن يقسم طول الغرفة على أحد بعدي البلاط وعرض الغرفة على البعد الآخر. لنفحص الاحتمالات: 1. إذا وضعنا البلاط بحيث يكون طول البلاط (30) في اتجاه طول الغرفة (440): - 440 ÷ 30 ≈ 14.67 ← **غير صحيح**. 2. إذا وضعنا البلاط بحيث يكون طول البلاط (30) في اتجاه عرض الغرفة (330): - 330 ÷ 30 = 11 ← **صحيح**. - ثم العرض الآخر للبلاط (20) في اتجاه طول الغرفة (440): - 440 ÷ 20 = 22 ← **صحيح**. إذن، **البلاط 30×20 سم ممكن** إذا وُضع باتجاه مناسب (30 في اتجاه العرض، 20 في اتجاه الطول). **ثانياً: البلاط 15 × 20 سم** - نفحص: هل 440 يقبل القسمة على 20 أو 15؟ - 440 ÷ 20 = 22 (صحيح) - 330 ÷ 15 = 22 (صحيح) إذن، **البلاط 15×20 سم ممكن** (20 في اتجاه الطول، 15 في اتجاه العرض). **ثالثاً: البلاط 30 × 22 سم** - 440 ÷ 22 = 20 (صحيح) - 330 ÷ 30 = 11 (صحيح) إذن، **البلاط 30×22 سم ممكن** (22 في اتجاه الطول، 30 في اتجاه العرض).
4. **الخطوة 4: الاستنتاج** جميع الأنواع الثلاثة من البلاط يمكن استعمالها دون قص لأن أبعاد الغرفة تقبل القسمة على أبعاد البلاط (بتوجيه مناسب لكل نوع).
5. **الإجابة النهائية:** يمكن لخالد استعمال **جميع الأنواع الثلاثة** من البلاط (30×20، 15×20، 30×22) دون قص أي قطعة، وذلك لأن أبعاد الغرفة (440 سم و 330 سم) قابلة للقسمة على أبعاد كل بلاط عند ترتيبها بالطريقة المناسبة.

ما هي المعادلة الجبرية التي تمثل العبارة اللفظية 'الفرق بين ٢١ والعدد ن هو ٦'؟

• أ) ٢١ - ن = ٦
• ب) ن - ٢١ = ٦
• ج) ٢١ + ن = ٦
• د) ٢١ ÷ ن = ٦

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٢١ - ن = ٦

الشرح: ترجمة العبارة 'الفرق بين أ و ب' في الرياضيات هي أ - ب. لذا، 'الفرق بين ٢١ والعدد ن' تعني $21 - ن$. وبما أن الفرق 'هو ٦'، فالمعادلة هي $21 - ن = 6$.

تلميح: تذكر أن 'الفرق بين أ وب' يعني 'أ - ب'.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي الخطوة الأولى لتحديد العامل المشترك الأكبر (GCF) في كثيرة الحدود $3م^2 - 6م$؟

• أ) جمع الحدود المتشابهة في كثيرة الحدود.
• ب) تحديد أكبر عدد يقسم معاملات الحدود، وأصغر أس للمتغيرات المشتركة.
• ج) تحليل كل حد على حدة إلى عوامله الأولية.
• د) ترتيب الحدود تنازليًا حسب قوى المتغير.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تحديد أكبر عدد يقسم معاملات الحدود، وأصغر أس للمتغيرات المشتركة.

الشرح: لتحديد العامل المشترك الأكبر (GCF)، يجب أولاً تحديد أكبر عامل مشترك عددي بين المعاملات (3 و 6 هو 3)، ثم تحديد أصغر أس للمتغيرات المشتركة (م² و م هو م). وبالتالي GCF هو 3م.

تلميح: فكر في كيفية إيجاد العوامل المشتركة لكل من الأعداد والمتغيرات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند تحليل كثيرة الحدود $2س + 8س + ب + أب ج$، ما هي الطريقة الصحيحة لتجميع الحدود وأخذ العوامل المشتركة؟

• أ) تجميع $س$ مع $أب ج$ وأخذ $س$ عامل مشترك.
• ب) تجميع $2س + 8س$ وأخذ $2س$ عاملًا مشتركًا، ثم تجميع $ب + أب ج$ وأخذ $ب$ عاملًا مشتركًا.
• ج) تجميع جميع الحدود وأخذ $س$ عاملًا مشتركًا.
• د) لا يمكن تحليل هذه الحدود لأنها غير متشابهة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تجميع $2س + 8س$ وأخذ $2س$ عاملًا مشتركًا، ثم تجميع $ب + أب ج$ وأخذ $ب$ عاملًا مشتركًا.

الشرح: 1. قسّم كثيرة الحدود إلى مجموعات من الحدود ذات العوامل المشتركة. 2. المجموعة الأولى: $2س + 8س$، العامل المشترك هو $2س$. 3. المجموعة الثانية: $ب + أب ج$، العامل المشترك هو $ب$. 4. يتم تحليل كل مجموعة على حدة.

تلميح: ابحث عن العوامل المشتركة في مجموعات من الحدود داخل كثيرة الحدود.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند تحليل كثيرة الحدود $س^2 - 6س - ص^2 - ص + ص^2$، ما هي الخطوة الأولى والأكثر فعالية لتبسيط العبارة قبل التحليل؟

• أ) ترتيب الحدود حسب قوى المتغير $س$ فقط.
• ب) البحث عن العامل المشترك الأكبر لجميع الحدود.
• ج) تجميع الحدود المتشابهة وإلغاء الحدود المتعاكسة.
• د) تطبيق خاصية التوزيع على الحدود.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تجميع الحدود المتشابهة وإلغاء الحدود المتعاكسة.

الشرح: العبارة تحتوي على الحدين $-ص^2$ و $+ص^2$ وهما حدود متعاكسة. الخطوة الأولى والأكثر فعالية هي إلغاؤهما لتبسيط العبارة إلى $س^2 - 6س - ص$ قبل محاولة التحليل.

تلميح: ابحث عن أي حدود يمكن أن تلغي بعضها البعض.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الشرط الأساسي الذي يجب أن يتوفر في أبعاد البلاط (طول وعرض) لتغطية غرفة بأبعاد معينة دون قص أي قطعة من البلاط؟

• أ) أن يكون محيط البلاط أكبر من محيط الغرفة.
• ب) أن تكون أبعاد الغرفة (الطول والعرض) قابلة للقسمة على أبعاد البلاط (الطول والعرض) دون باقٍ، بأي ترتيب.
• ج) أن يكون طول البلاط مساويًا لطول الغرفة بالضبط.
• د) أن يكون عدد قطع البلاط أقل من مساحة الغرفة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن تكون أبعاد الغرفة (الطول والعرض) قابلة للقسمة على أبعاد البلاط (الطول والعرض) دون باقٍ، بأي ترتيب.

الشرح: لتبليط غرفة دون قص أي قطعة بلاط، يجب أن يكون طول الغرفة وعرضها مضاعفات لأبعاد البلاط (أي قابلة للقسمة عليها). يمكن تبديل اتجاه البلاط (طول البلاط مع عرض الغرفة أو العكس) لاستيفاء هذا الشرط.

تلميح: فكر في العلاقة بين أبعاد الغرفة وأبعاد البلاط لتجنب الهدر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط