مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تحليل ثلاثية الحدود: أس² + ب س + ج

المفاهيم الأساسية

القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ): أكبر عدد يقسم جميع حدود كثيرة الحدود بدون باقٍ. يجب البحث عنه قبل التحليل.

خريطة المفاهيم

```markmap

تحليل ثلاثية الحدود: أس² + ب س + ج

ما سبق دراسته

• تحليل ثلاثية حدود على الصورة: أس² + ب س + ج

ما ستتعلمه الآن

المهارة ١: التحليل

• أحلل ثلاثية حدود على الصورة: أس² + ب س + ج

المهارة ٢: حل المعادلات

• أحل معادلات على الصورة: أس² + ب س + ج = ٠

طريقة التحليل (بتجميع الحدود)

الخطوة ١: إعادة كتابة الحد الأوسط

• اكتب ب س على شكل م س + ن س
• حيث: م × ن = أ × ج
• و: م + ن = ب

الخطوة ٢: إيجاد العددين م و ن

• باستخدام جدول عوامل (أ × ج)

الخطوة ٣: التجميع وإخراج العامل المشترك

• جمّع الحدود في مجموعتين
• أخرج (ق.م.أ) من كل مجموعة
• أخرج العامل الثنائي المشترك

حالة خاصة: أس² - ب س + ج

• ب سالبة، ج موجبة
• م + ن ستكون سالبة
• م × ن ستكون موجبة
• نبحث عن عوامل سالبة لـ (أ × ج)

الناتج النهائي

• صيغة المضروب: (ح س + د)(هـ س + و)

```

نقاط مهمة

• ابدأ دائماً بالبحث عن (ق.م.أ) لجميع الحدود وأخرجه قبل التحليل.
• عند تحليل أس² + ب س + ج، ابحث عن عددين حاصل ضربهما (أ × ج) ومجموعهما (ب).
• عند تحليل أس² - ب س + ج (ب سالبة، ج موجبة)، ابحث عن عددين سالبين حاصل ضربهما (أ × ج) ومجموعهما (ب).

---

حل مثال

مثال ١

حلل كل ثلاثية حدود:

أ) س² + ٢٩ س + ٢٨

أ = ١، ب = ٢٩، جـ = ٢٨.

أ × جـ = ١ × ٢٨ = ٢٨.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٢٨ ومجموعهما ٢٩.

العددان هما: ١ و ٢٨.

نعيد كتابة الحد الأوسط: س² + س + ٢٨ س + ٢٨.

التجميع: (س² + س) + (٢٨ س + ٢٨).

إخراج (ق.م.أ) من كل مجموعة: س(س + ١) + ٢٨(س + ١).

إخراج العامل المشترك (س + ١): (س + ١)(س + ٢٨).

ب) ٣ س² + ١٥ س + ١٨

(ق.م.أ) للحدود هو ٣. نخرجه أولاً: ٣(س² + ٥ س + ٦).

نحلل القوس: س² + ٥ س + ٦.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٦ ومجموعهما ٥.

العددان هما: ٢ و ٣.

الناتج: ٣(س + ٢)(س + ٣).

مثال ٢

حلل كثيرة الحدود ٣ س² - ١٧ س + ٢٠.

أ = ٣، ب = -١٧، جـ = ٢٠.

أ × جـ = ٣ × ٢٠ = ٦٠.

بما أن ب سالبة وجـ موجبة، نبحث عن عوامل سالبة لـ ٦٠ مجموعهما -١٧.

من جدول العوامل السالبة، العددان هما: -٥ و -١٢ (لأن -٥ + (-١٢) = -١٧).

نعيد كتابة الحد الأوسط: ٣ س² - ١٢ س - ٥ س + ٢٠.

التجميع: (٣ س² - ١٢ س) + (-٥ س + ٢٠).

إخراج (ق.م.أ) من كل مجموعة: ٣ س (س - ٤) + (-٥)(س - ٤).

إخراج العامل المشترك (س - ٤): (٣ س - ٥)(س - ٤).

---

تحقق من فهمك

أ) ٥ س² + ١٣ س + ٦

أ = ٥، ب = ١٣، جـ = ٦.

أ × جـ = ٥ × ٦ = ٣٠.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٣٠ ومجموعهما ١٣.

العددان هما: ٣ و ١٠.

نعيد كتابة الحد الأوسط: ٥ س² + ٣ س + ١٠ س + ٦.

التجميع: (٥ س² + ٣ س) + (١٠ س + ٦).

إخراج (ق.م.أ): س(٥ س + ٣) + ٢(٥ س + ٣).

الناتج: (٥ س + ٣)(س + ٢).

ب) ٢ ن² - ن - ١

(ملاحظة: هذه الصيغة أس² + ب س + ج حيث ب سالبة وجـ سالبة، وهي حالة جديدة لم تُشرح بالتفصيل في الصفحة، لكن يمكن حلها بنفس المنطق)

أ = ٢، ب = -١، جـ = -١.

أ × جـ = ٢ × (-١) = -٢.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما -٢ ومجموعهما -١.

العددان هما: -٢ و ١.

نعيد كتابة الحد الأوسط: ٢ ن² - ٢ ن + ١ ن - ١.

التجميع: (٢ ن² - ٢ ن) + (١ ن - ١).

إخراج (ق.م.أ): ٢ ن (ن - ١) + ١(ن - ١).

الناتج: (٢ ن + ١)(ن - ١).

مثال 1: تحليل أس^2 + بس + ج

حلّل كل ثلاثية حدود فيما يأتي: أ) 7س^2 + 29س + 4 في ثلاثية الحدود أعلاه، أ = 7، ب = 29، ج = 4. أوجد عددين ناتج ضربهما 7 × 4 = 28، ومجموعهما 29. كوّن قائمة بأزواج من عوامل العدد 28، وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما 29.

العوامل الصحيحة 1، 28 استخدم القاعدة. م = 1، ن = 28 جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلّل بإخراج (ق. م. أ) (7س + 1) عامل مشترك 7س^2 + 29س + 4 = 7س^2 + م س + ن س + 4 = 7س^2 + 1س + 28س + 4 = (7س^2 + 1س) + (28س + 4) = س(7س + 1) + 4(7س + 1) = (س + 4)(7س + 1)

ب) 3س^2 + 15س + 18 (ق. م. أ) للحدود 3س^2، 15س، 18، هو 3. حلّل بإخراج العامل 3. 3س^2 + 15س + 18 = 3(س^2 + 5س + 6) = 3(س + 3)(س + 2) خاصية التوزيع أوجد عاملين للعدد 6 مجموعهما 5

تحقق من فهمك

مثال 2: تحليل أس^2 - بس + ج

حلل كثيرة الحدود 3س^2 - 17س + 20. في ثلاثية الحدود أعلاه أ = 3، ب = -17، ج = 20. وبما أن ب سالبة، فإن م + ن ستكون سالبة أيضًا، وبما أن ج موجبة، فإن م، ن ستكون موجبة. لتحديد م، ن كوّن قائمة بالعوامل السالبة لـ أ ج = 60 وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما -17

العاملان الصحيحان هما -5، -12 م = -12، ن = -5 جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلل كل تجمع بإخراج (ق. م. أ) خاصية التوزيع 3س^2 - 17س + 20 = 3س^2 - 12س - 5س + 20 = (3س^2 - 12س) + (-5س + 20) = 3س(س - 4) + (-5)(س - 4) = (3س - 5)(س - 4)

تحقق من فهمك

القاسم المشترك الأكبر ابحث عن القاسم المشترك الأكبر لحدود كثيرة الحدود قبل تحليلها.

84 الفصل 7: التحليل والمعادلات التربيعية

مثال 1: تحليل أس^2 + بس + ج --- SECTION: مثال 1 --- حلّل كل ثلاثية حدود فيما يأتي: أ) 7س^2 + 29س + 4 في ثلاثية الحدود أعلاه، أ = 7، ب = 29، ج = 4. أوجد عددين ناتج ضربهما 7 × 4 = 28، ومجموعهما 29. كوّن قائمة بأزواج من عوامل العدد 28، وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما 29. العوامل الصحيحة 1، 28 استخدم القاعدة. م = 1، ن = 28 جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلّل بإخراج (ق. م. أ) (7س + 1) عامل مشترك 7س^2 + 29س + 4 = 7س^2 + م س + ن س + 4 = 7س^2 + 1س + 28س + 4 = (7س^2 + 1س) + (28س + 4) = س(7س + 1) + 4(7س + 1) = (س + 4)(7س + 1) ب) 3س^2 + 15س + 18 (ق. م. أ) للحدود 3س^2، 15س، 18، هو 3. حلّل بإخراج العامل 3. 3س^2 + 15س + 18 = 3(س^2 + 5س + 6) = 3(س + 3)(س + 2) خاصية التوزيع أوجد عاملين للعدد 6 مجموعهما 5 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 1أ. 5س^2 + 13س + 6 1ب. 6س^2 + 22س - 8 مثال 2: تحليل أس^2 - بس + ج --- SECTION: مثال 2 --- حلل كثيرة الحدود 3س^2 - 17س + 20. في ثلاثية الحدود أعلاه أ = 3، ب = -17، ج = 20. وبما أن ب سالبة، فإن م + ن ستكون سالبة أيضًا، وبما أن ج موجبة، فإن م، ن ستكون موجبة. لتحديد م، ن كوّن قائمة بالعوامل السالبة لـ أ ج = 60 وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما -17 العاملان الصحيحان هما -5، -12 م = -12، ن = -5 جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلل كل تجمع بإخراج (ق. م. أ) خاصية التوزيع 3س^2 - 17س + 20 = 3س^2 - 12س - 5س + 20 = (3س^2 - 12س) + (-5س + 20) = 3س(س - 4) + (-5)(س - 4) = (3س - 5)(س - 4) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 2أ. 2ن^2 - ن - 1 2ب. 10ص^2 - 35ص + 30 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- القاسم المشترك الأكبر ابحث عن القاسم المشترك الأكبر لحدود كثيرة الحدود قبل تحليلها. 84 الفصل 7: التحليل والمعادلات التربيعية --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عوامل العدد 28 | مجموع العوامل Rows: Row 1: 1، 28 | 29 Calculation needed: Finding factors of ac that sum to b Context: Table showing the pair of factors for the quadratic trinomial in Example 1. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عوامل العدد 60 | مجموع العاملين Rows: Row 1: -2، -30 | -32 Row 2: -3، -20 | -23 Row 3: -4، -15 | -19 Row 4: -5، -12 | -17 Calculation needed: Finding negative factors of ac that sum to a negative b Context: Table showing pairs of negative factors for the quadratic trinomial in Example 2. **IMAGE**: Untitled Description: Logo of the Saudi Ministry of Education with text 'وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447' Context: Institutional branding