المعادلات التربيعية Quadratic Equations - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 الجذور التكعيبية والمعادلات التربيعية

المفاهيم الأساسية

الجذر التكعيبي: يساوي أحد معاملات الثلاثة المتساوية. ويمكن التعبير عنه بالصورة الأسية b^{1/3}.

المعادلة التربيعية: تعبير عام على الصورة ax² + bx + c = 0، حيث a ≠ 0، وتتضمن متغيراً مرفوعاً للأس 2 وآخر مرفوعاً للأس 1.

الصيغة التربيعية: صيغة عامة لحل أي معادلة تربيعية: x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}.

خريطة المفاهيم

```markmap

التقريب (Rounding)

القواعد العامة

القاعدة 1: الرقم < 5

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• الرقم الأخير يبقى دون تغيير.

القاعدة 2: الرقم > 5

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• زيادة الرقم الأخير بمقدار واحد.

القاعدة 3: الرقم = 5 متبوعًا برقم ≠ 0

• إسقاط الرقم والأرقام التي تليه.
• زيادة الرقم الأخير بمقدار واحد.

القاعدة 4: الرقم = 5 متبوعًا بالصفر أو لا شيء

• انظر إلى الرقم المعنوي الأخير.
• إذا كان فرديًا: زده بمقدار واحد.
• إذا كان زوجيًا: اتركه دون تغيير.

خطوات التقريب

حدد المنزلة أو عدد الأرقام المعنوية المراد التقريب إليها.

طبق القواعد المناسبة.

إجراء العمليات الحسابية

الجمع والطرح

• انظر إلى الأرقام عن يمين الفاصلة العشرية.
• قرب النتيجة إلى أصغر قيمة بين القياسات (أقل عدد منزلة عشرية).

الضرب والقسمة

• حدد عدد الأرقام المعنوية في كل عملية قياس.
• قرب النتيجة بحيث يكون عدد الأرقام المعنوية فيها مساوياً للكمية ذات الأرقام المعنوية الأقل.

المجاميع (Combination)

• استخدم قاعدة الضرب/القسمة في الحسابات المختلطة.
• قرب النتيجة النهائية بناءً على القيمة ذات أقل عدد من الأرقام المعنوية.

الحسابات المتعددة الخطوات (Multistep Calculation)

• لا تقرب الأرقام المعنوية أثناء الخطوات المتوسطة.
• احتفظ بالدقة الكاملة خلال الحساب.
• قرب النتيجة النهائية فقط إلى العدد الصحيح من الأرقام المعنوية.

إجراء العمليات باستخدام الأسس

ضرب القوى

• اجمع الأسس: (a^m)(a^n) = a^{m+n}

قسمة القوى

• اطرح الأسس: a^m / a^n = a^{m-n}

القوة المرفوعة لقوة

• اضرب الأسس: (a^m)^n = a^{mn}

القوة لحاصل الضرب

• (ab)^n = a^n b^n

القيمة المطلقة

• قيمة الرقم بغض النظر عن إشارته.
• دائماً أكبر من أو تساوي الصفر.
• مثال: |3| = 3، |-3| = 3

الترميز العلمي

كتابة الأعداد الكبيرة

• مثال: 7,530,000 = 7.53 × 10^6
• الخطوات:

1. حدد قيمة a (بين 1 و 10).

2. احسب عدد المنازل العشرية من النقطة في a إلى نهاية العدد الأصلي.

3. استخدم هذا العدد كقوة للعدد 10.

إجراء العمليات الرياضية

#### الضرب

• اضرب الحدود a، ثم اجمع أسس الأساس 10.
• مثال: (4.0×10^{-8})(1.2×10^{5}) = (4.0×1.2)(10^{-8} × 10^{5}) = 4.8×10^{-3}

#### القسمة

• اقسم الحدود a، ثم اطرح أسس الأساس 10.
• مثال: \frac{9.60×10^{7}}{1.60×10^{3}} = (\frac{9.60}{1.60}) × (\frac{10^{7}}{10^{3}}) = 6.00 × 10^{4}

#### الجمع والطرح

• يجب أن تكون قوى الأساس 10 متماثلة.
• إذا كانت القوى متساوية: استعمل الخاصية التوزيعية.
• إذا كانت القوى مختلفة: أعد كتابة أحد الأرقام لتصبح القوى متماثلة.

ترتيب العمليات (Order of Operations)

بسط التعابير داخل الرموز التجميعية (أقواس، أقواس معقوفة، أعمدة كسر).

قدّر قيمة جميع القوى والجذور.

نفذ جميع عمليات الضرب و/أو القسمة من اليسار إلى اليمين.

نفذ جميع عمليات الجمع و/أو الطرح من اليسار إلى اليمين.

حل المعادلات

معنى الحل

• إيجاد قيمة المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.

الخصائص الجبرية

#### الخاصية التوزيعية

• a(b+c)=ab+ac
• a(b-c)=ab-ac

#### خصائص الجمع والطرح للمتكافئات

• إذا تساوت كميتان وأضيف أو طرح منهما نفس العدد، تبقى النتائج متساوية.

#### خصائص الضرب والقسمة للمتكافئات

• إذا تساوت كميتان وضربتا أو قسمتا على نفس العدد (غير الصفر)، تبقى النتائج متساوية.
• ac = bc
• a/c = b/c (لـ c ≠ 0)

عزل المتغير (Isolating a Variable)

• فصل المتغير بحيث يكون له معامل 1 في طرف المعادلة.
• مثال من قانون الغاز المثالي:

PV = nRT

P = \frac{nRT}{V}

الجذور التربيعية والجذور التكعيبية

الجذر التربيعي

• يساوي أحد معامليه الاثنين.
• √b = b^{1/2}

أمثلة

• √a² = a
• √9 = 3
• √64 = 8.0 (للإبقاء على رقمين معنويين)
• √38.44 = 6.200 (للإبقاء على أربعة أرقام معنوية)
• √39 ≈ 6.2 (تقريب لرقمين معنويين)

الجذر التكعيبي

• يساوي أحد معاملات الثلاثة المتساوية.
• √[3]{b} = b^{1/3}

أمثلة

• √[3]{125} = 5.00
• √[3]{39.304} = 3.4000

المعادلات التربيعية (Quadratic Equations)

الصيغة العامة

• ax² + bx + c = 0، حيث a ≠ 0

طرق الحل

#### 1. فصل المتغير المربع وإيجاد الجذر التربيعي

#### 2. الصيغة التربيعية (Quadratic Formula)

• x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}
• ملاحظة: قد تعطي حلاً غير حقيقي يُهمل.
• تُستخدم غالباً في مسائل حركة المقذوفات.

```

نقاط مهمة

• يمكن التعبير عن الجذر التكعيبي بالصورة الأسية b^{1/3}.
• يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية باستخدام التمثيل البياني بالآلة الحاسبة.
• عند استخدام الصيغة التربيعية، يجب مراعاة إهمال الحلول غير الحقيقية.

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

ويعبر الجذر التكعيبي للرقم 3، عن أحد معاملات الثلاثة المتساوية. ويعبر الرمز الجذري 3√ أي استعمال الرقم 3، عن الجذر التكعيبي أيضاً في صورة أس 1/3 كما في √b = b1/3.

مثال: بسط حدود الجذر التكعيبي الآتية: √125 = 3√(5.00)(5.00)(5.00) = 5.00 √39.304 = 3.4000

التعبير العام للمعادلة التربيعية 0 = ax² + bx + c ، حيث a ≠ 0 ، وتتضمن المعادلة التربيعية متغيراً واحداً مرفوعاً للقوة (الأس) 2 بالإضافة إلى المتغير نفسه مرفوعاً للأس 1. كما يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية بالتمثيل البياني باستعمال الآلة الحاسبة البيانية.

يمكن حل المعادلة بفصل المتغير المربع، ثم إيجاد الجذر التربيعي.

إن حلول أي معادلة تربيعية يمكن إيجادها باستعمال الصيغة التربيعية، لذلك فإن حلول المعادلة: 0 ≠ a ، حيث ax² + bx + c = هي من خلال المعادلة الآتية: x = -b ±√b² - 4ac 2a

وكما في حالة خاصية الجذر التربيعي من المهم الأخذ بعين الاعتبار ما إذا كانت حلول الصيغة التربيعية تعطيك إهمال أحد الحلول لكونه حلاً غير حقيقي. تتطلب حركة المقذوف غالباً استعمال الصيغة التربيعية عند ذهنك عند حل المعادلة.

حل المعادلات الآتية بالنسبة للمتغير X.

ويعبر الجذر التكعيبي للرقم 3، عن أحد معاملات الثلاثة المتساوية. ويعبر الرمز الجذري 3√ أي استعمال الرقم 3، عن الجذر التكعيبي أيضاً في صورة أس 1/3 كما في √b = b1/3. مثال: بسط حدود الجذر التكعيبي الآتية: √125 = 3√(5.00)(5.00)(5.00) = 5.00 √39.304 = 3.4000 --- SECTION: المعادلات التربيعية Quadratic Equations --- التعبير العام للمعادلة التربيعية 0 = ax² + bx + c ، حيث a ≠ 0 ، وتتضمن المعادلة التربيعية متغيراً واحداً مرفوعاً للقوة (الأس) 2 بالإضافة إلى المتغير نفسه مرفوعاً للأس 1. كما يمكن تقدير حلول المعادلة التربيعية بالتمثيل البياني باستعمال الآلة الحاسبة البيانية. يمكن حل المعادلة بفصل المتغير المربع، ثم إيجاد الجذر التربيعي. --- SECTION: الصيغة التربيعية Quadratic Formula --- إن حلول أي معادلة تربيعية يمكن إيجادها باستعمال الصيغة التربيعية، لذلك فإن حلول المعادلة: 0 ≠ a ، حيث ax² + bx + c = هي من خلال المعادلة الآتية: x = -b ±√b² - 4ac 2a وكما في حالة خاصية الجذر التربيعي من المهم الأخذ بعين الاعتبار ما إذا كانت حلول الصيغة التربيعية تعطيك إهمال أحد الحلول لكونه حلاً غير حقيقي. تتطلب حركة المقذوف غالباً استعمال الصيغة التربيعية عند ذهنك عند حل المعادلة. --- SECTION: مسائل تدريبية --- حل المعادلات الآتية بالنسبة للمتغير X. 4x² – 19 = 17 .a 12 – 3x² = – 9 .b x² – 2x – 24 = 0 .c 24x² – 14x – 6 = 0 .d a. 4x² – 19 = 17 b. 12 – 3x² = – 9 c. x² – 2x – 24 = 0 d. 24x² – 14x – 6 = 0