نظرية بييز وقانون الاحتمال الكلي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

نظرية بييز Bayes's Theorem

تعد نظرية بييز من أشهر النظريات في علم الاحتمال، وتبنى عليها العديد من العمليات الإحصائية. حيث تهتم نظرية بييز بحساب احتمال وقوع حدث استنادًا إلى معرفة الأسباب والظروف المؤدية لوقوعه. فعلى سبيل المثال عندما نعلم أن من أسباب سقوط الطائرات وجود خلل في المحرك، فإن حساب احتمال سقوط طائرة بعينها يصبح أكثر دقة إذا حسبنا احتمال أن يكون خلل المحرك هو المتسبب في سقوطها.

توماس جوشوا بييز عالم رياضيات وإحصائي وفيلسوف ووزير إنجليزي. من أشهر أعماله نظرية بييز في الاحتمالات. ولم ينشر بييز نظريته وإنما عدلت ونشرت بعد وفاته، وقد نتج عنها ما يُعرف بالاستدلال البييزي الذي يعد أحد أسس بناء خوارزميات الذكاء الاصطناعي وعلم الآلة.

لابد من التعرف على قانون الاحتمال الكلي قبل دراسة قانون بييز؛ الذي يُعنى بحساب وقوع الحادثة دون النظر إلى مسبباتها.

لتكن A₁, A₂, ..., Aₙ حوادث اتحادها يشكل المجموعة الشاملة، ومتنافية مثنى مثنى (متنافية تبادليًا؛ يعني لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها) ومعرفة على فضاء العينة S، أي أن:

⋃ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = S

إذا كانت الحادثة B هي أي حادثة معرفة على فضاء العينة S نفسه، فإن:

أولاً: قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability)

P(B) = P(A₁) P(B|A₁) + P(A₂) P(B|A₂) + ... + P(Aₙ) P(B|Aₙ)

= ∑ₖ₌₁ⁿ P(Aₖ) P(B|Aₖ)

ويمكن عرض قانون الاحتمال الكلي بواسطة الرسم الشجري الآتي (للحالة 3=n على سبيل المثال):

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447

158

--- SECTION: نظرية بييز Bayes's Theorem --- نظرية بييز Bayes's Theorem تعد نظرية بييز من أشهر النظريات في علم الاحتمال، وتبنى عليها العديد من العمليات الإحصائية. حيث تهتم نظرية بييز بحساب احتمال وقوع حدث استنادًا إلى معرفة الأسباب والظروف المؤدية لوقوعه. فعلى سبيل المثال عندما نعلم أن من أسباب سقوط الطائرات وجود خلل في المحرك، فإن حساب احتمال سقوط طائرة بعينها يصبح أكثر دقة إذا حسبنا احتمال أن يكون خلل المحرك هو المتسبب في سقوطها. --- SECTION: توماس جوشوا بييز --- توماس جوشوا بييز عالم رياضيات وإحصائي وفيلسوف ووزير إنجليزي. من أشهر أعماله نظرية بييز في الاحتمالات. ولم ينشر بييز نظريته وإنما عدلت ونشرت بعد وفاته، وقد نتج عنها ما يُعرف بالاستدلال البييزي الذي يعد أحد أسس بناء خوارزميات الذكاء الاصطناعي وعلم الآلة. لابد من التعرف على قانون الاحتمال الكلي قبل دراسة قانون بييز؛ الذي يُعنى بحساب وقوع الحادثة دون النظر إلى مسبباتها. لتكن A₁, A₂, ..., Aₙ حوادث اتحادها يشكل المجموعة الشاملة، ومتنافية مثنى مثنى (متنافية تبادليًا؛ يعني لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها) ومعرفة على فضاء العينة S، أي أن: ⋃ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = S إذا كانت الحادثة B هي أي حادثة معرفة على فضاء العينة S نفسه، فإن: --- SECTION: أولاً: قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability) --- أولاً: قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability) P(B) = P(A₁) P(B|A₁) + P(A₂) P(B|A₂) + ... + P(Aₙ) P(B|Aₙ) = ∑ₖ₌₁ⁿ P(Aₖ) P(B|Aₖ) ويمكن عرض قانون الاحتمال الكلي بواسطة الرسم الشجري الآتي (للحالة 3=n على سبيل المثال): وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 158 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: N/A Description: A black and white portrait image of Thomas Bayes, an English mathematician, statistician, philosopher, and Presbyterian minister. He is depicted wearing a wig and formal attire, looking towards the right. Context: Biographical image accompanying the text about Thomas Bayes and his theorem.