تحقق من فهمك 2: تمارين على قانون بييز والاحتمالات - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال س:1: في مثال (2) السابق؛ ما احتمال أن يكون المصباح غير تالف؟

الإجابة: س1: 1 = 1 - 0.49 = 0.51 (غير تالف) (أي 51%)

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفهم هذا السؤال. في مثال سابق (2)، تم ذكر أن احتمال أن يكون المصباح تالفاً هو 0.49 (أي 49%). الفكرة هنا هي أن مجموع احتمالات حدث ما وحدثه المكمل يساوي دائماً 1 (أو 100%). الحدث المكمل لـ "المصباح تالف" هو "المصباح غير تالف". لذلك، لحساب احتمال أن يكون المصباح غير تالف، نطرح احتمال التلف من 1. إذن الإجابة هي: **1 - 0.49 = 0.51** (أي 51%).

سؤال س:2: يتم إنتاج قمصان رياضية في أحد المصانع بواسطة أربع آلات، حيث تنتج الآلة الأولى 20% وتنتج الآلة الثانية 30% وتنتج الآلة الثالثة 35% وتنتج الآلة الرابعة 15%، من الإنتاج الكلي للمصنع، ومعلوم مسبقاً أن نسبة الإنتاج التالف للآلة الأولى 2% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثانية 6% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثالثة 9% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الرابعة 5%؛ إذا كانت التجربة هي اختيار قميص واحد من إنتاج هذا المصنع بشكل عشوائي؛ فما احتمال أن يكون هذا القميص تالفاً؟

الإجابة: س2: P(تالف) = 0.20(0.02) + 0.30(0.06) + 0.35(0.09) + 0.15(0.05) = 0.061. أي 6.1%.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من معلومات: - **نسب إنتاج الآلات:** - الآلة الأولى: 20% أو 0.20 - الآلة الثانية: 30% أو 0.30 - الآلة الثالثة: 35% أو 0.35 - الآلة الرابعة: 15% أو 0.15 - **نسب التلف لكل آلة:** - الآلة الأولى: 2% أو 0.02 - الآلة الثانية: 6% أو 0.06 - الآلة الثالثة: 9% أو 0.09 - الآلة الرابعة: 5% أو 0.05
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الاحتمال الكلي. احتمال أن يكون القميص تالفاً يساوي مجموع (احتمال أن يكون من آلة معينة × احتمال أن يكون تالفاً من تلك الآلة). $$P(\text{تالف}) = P(A_1) \times P(T|A_1) + P(A_2) \times P(T|A_2) + P(A_3) \times P(T|A_3) + P(A_4) \times P(T|A_4)$$ حيث $A_i$ هو حدث أن القميص من الآلة $i$، و $P(T|A_i)$ هو احتمال التلف بشرط أن يكون من الآلة $i$.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم: $$P(\text{تالف}) = (0.20 \times 0.02) + (0.30 \times 0.06) + (0.35 \times 0.09) + (0.15 \times 0.05)$$ نحسب كل جزء: - $0.20 \times 0.02 = 0.004$ - $0.30 \times 0.06 = 0.018$ - $0.35 \times 0.09 = 0.0315$ - $0.15 \times 0.05 = 0.0075$ نجمع النتائج: $$0.004 + 0.018 + 0.0315 + 0.0075 = 0.061$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن احتمال أن يكون القميص تالفاً = **0.061** (أي 6.1%).

ما هو قانون بييز؟

الإجابة: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) P(B|Aᵢ) / Σ(k=1 to n) P(Aₖ)P(B|Aₖ) = P(Aᵢ) P(B|Aᵢ) / P(B) ; i = 1, 2, ..., n

الشرح: قانون بييز يربط بين الاحتمال الشرطي P(Aᵢ|B) واحتمالات الحدثين Aᵢ و B والاحتمال الشرطي P(B|Aᵢ). البسط هو حاصل ضرب احتمال Aᵢ في احتمال B بشرط Aᵢ، والمقام هو مجموع هذه الحاصل لجميع الأحداث الممكنة Aₖ، أو ببساطة احتمال الحدث B الكلي.

تلميح: هذا القانون يستخدم لحساب الاحتمال الشرطي العكسي، أي احتمال وقوع حدث معين (Aᵢ) بشرط وقوع حدث آخر (B).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما خطوات تطبيق قانون بييز لحساب احتمال أن يكون قميص تالف قد أنتجته آلة معينة؟

الإجابة: 1. تحديد الأحداث: Aᵢ (الآلة المنتجة)، B (القطعة تالفة). 2. معرفة P(Aᵢ) (احتمال أن تكون القطعة من الآلة i). 3. معرفة P(B|Aᵢ) (احتمال التلف بشرط أن تكون القطعة من الآلة i). 4. حساب P(B) = Σ P(Aₖ)P(B|Aₖ). 5. تطبيق القانون: P(Aᵢ|B) = [P(Aᵢ) * P(B|Aᵢ)] / P(B).

الشرح: قانون بييز يستخدم عكسياً: بدلاً من سؤال 'ما احتمال التلف إذا كانت القطعة من آلة معينة؟'، نجيب على سؤال 'إذا وجدنا قطعة تالفة، ما احتمال أنها من آلة معينة؟'. الخطوات تنظم عملية استخراج البيانات من المسألة وتطبيق الصيغة الرياضية.

تلميح: ابدأ بتحديد ما يمثل الحدث الشرطي (B) وما تمثله الأحداث المسبقة (Aᵢ) في سياق المسألة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في مثال المصنع، إذا كانت نسبة إنتاج الآلة الأولى 20% ونسبة تلفها 2%، فما قيمة P(A₁) و P(B|A₁)؟

الإجابة: P(A₁) = 0.20 (احتمال أن يكون القميص من الآلة الأولى). P(B|A₁) = 0.02 (احتمال أن يكون القميص تالفاً بشرط أنه من الآلة الأولى).

الشرح: P(A₁) يمثل الاحتمال المسبق (قبل معرفة حالة القميص) أن يكون القميص المنتج من الآلة الأولى، وهو 20% أو 0.20. P(B|A₁) يمثل الاحتمال الشرطي للتلف بشرط أن القميص من الآلة الأولى، وهو 2% أو 0.02.

تلميح: انتبه إلى أن النسب المئوية يجب تحويلها إلى كسور عشرية عند التعامل مع الاحتمالات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل