قانون الاحتمال الكلي وتطبيقه في مثال عملي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

P(A₁) P(B|A₁) ⇒ P(A₁)P(B|A₁) P(A₂) P(B|A₂) ⇒ P(A₂)P(B|A₂) P(A₃) P(B|A₃) ⇒ P(A₃)P(B|A₃) المجموع = P(B) = Σ P(A_k)P(B|A_k)

يتم إنتاج المصابيح الكهربائية في أحد المصانع بواسطة ثلاث آلات، حيث تنتج الآلة الأولى 20% وتنتج الآلة الثانية 30% وتنتج الآلة الثالثة 50% من الإنتاج الكلي للمصنع. ومعلوم مسبقاً أن نسبة الإنتاج التالف للآلة الأولى 1% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثانية 4% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثالثة 7%. إذا كانت التجربة هي اختيار مصباح واحد من إنتاج هذا المصنع بشكل عشوائي؛ فما احتمال أن يكون هذا المصباح تالفاً؟

الحل:

نعرف الحوادث الآتية: الحادثة B وتعني إنتاج المصباح التالف. الحادثة A₁ وتعني إنتاج الآلة الأولى للمصابيح. الحادثة A₂ وتعني إنتاج الآلة الثانية للمصابيح. الحادثة A₃ وتعني إنتاج الآلة الثالثة للمصابيح. ويكون حساب الاحتمال لكل حادثة كما يأتي:

(A_i) تعني إنتاج الآلة i (B_A_i) تعني الإنتاج التالف من الآلة i (G_A_i) تعني الإنتاج غير التالف من الآلة i

159

P(A₁) P(B|A₁) ⇒ P(A₁)P(B|A₁) P(A₂) P(B|A₂) ⇒ P(A₂)P(B|A₂) P(A₃) P(B|A₃) ⇒ P(A₃)P(B|A₃) المجموع = P(B) = Σ P(A_k)P(B|A_k) --- SECTION: 2 --- يتم إنتاج المصابيح الكهربائية في أحد المصانع بواسطة ثلاث آلات، حيث تنتج الآلة الأولى 20% وتنتج الآلة الثانية 30% وتنتج الآلة الثالثة 50% من الإنتاج الكلي للمصنع. ومعلوم مسبقاً أن نسبة الإنتاج التالف للآلة الأولى 1% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثانية 4% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثالثة 7%. إذا كانت التجربة هي اختيار مصباح واحد من إنتاج هذا المصنع بشكل عشوائي؛ فما احتمال أن يكون هذا المصباح تالفاً؟ الحل: نعرف الحوادث الآتية: الحادثة B وتعني إنتاج المصباح التالف. الحادثة A₁ وتعني إنتاج الآلة الأولى للمصابيح. الحادثة A₂ وتعني إنتاج الآلة الثانية للمصابيح. الحادثة A₃ وتعني إنتاج الآلة الثالثة للمصابيح. ويكون حساب الاحتمال لكل حادثة كما يأتي: (A_i) تعني إنتاج الآلة i (B_A_i) تعني الإنتاج التالف من الآلة i (G_A_i) تعني الإنتاج غير التالف من الآلة i 159 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A probability tree diagram illustrating the law of total probability. It starts with a single node branching into three primary events: A₁, A₂, and A₃. From each of these A_i events, there are secondary branches representing conditional probabilities. The diagram shows the probabilities P(A₁), P(A₂), P(A₃) for the initial branches. For each A_i, there's a conditional branch B|A_i with probability P(B|A_i). The diagram also shows the resulting joint probabilities P(A₁)P(B|A₁), P(A₂)P(B|A₂), and P(A₃)P(B|A₃). Below the diagram, the formula for the total probability P(B) is given as the sum of these joint probabilities: P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B|A₃), and a general summation form P(B) = Σ P(A_k)P(B|A_k) from k=1 to n. Key Values: P(A₁), P(A₂), P(A₃), P(B|A₁), P(B|A₂), P(B|A₃) Context: Illustrates the concept of conditional probability and the law of total probability, which is applied in Example 2. **TABLE**: Untitled Description: A 2x3 table (excluding row and column headers) used to categorize outcomes for Example 2. The columns represent the three production machines (A₁, A₂, A₃), and the rows represent the state of the product (non-defective or defective). Table Structure: Headers: | A₁ | A₂ | A₃ Rows: Row 1: غير تالف (G) | G_A₁ | G_A₂ | G_A₃ Row 2: تالف (B) | B_A₁ | B_A₂ | B_A₃ Calculation needed: This table serves as a visual aid to represent the joint events (e.g., product from machine A1 and non-defective) for probability calculations in Example 2. Data: The table visually organizes the possible outcomes of selecting a product from a specific machine and its defect status. Context: Provides a structured way to visualize the events and their combinations as described in the problem statement of Example 2, aiding in the calculation of probabilities.