تمارين الاحتمال الشرطي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال مربع-1: بالرجوع إلى مثال (2) وبفرض أن المصباح الذي تم اختياره تالف، فما احتمال أن يكون أنتج بواسطة الآلة الثالثة؟ قارن النتيجة التي توصلت إليها بالنتيجة في المثال (2).

الإجابة: P(A3|B)= P(A3)P(B|A3) P(B) وبما أن: P(B)=0.049، P(A1)P(B|A1)=0.002، P(A2)P(B|A2)=0.012 إذا: P(A3)P(B|A3)=0.049-0.002-0.012=0.035 وعليه: P(A3|B)=0.035/0.049 ≈ 0.714

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والفهم):** لنفهم هذا السؤال. لدينا ثلاث آلات تنتج مصابيح. السؤال يقول: إذا اخترنا مصباحاً عشوائياً ووجدناه تالفاً، فما احتمال أن يكون هذا المصباح التالف قد أنتجته الآلة الثالثة؟ هذا سؤال عن الاحتمال الشرطي. نحن نريد إيجاد احتمال أن يكون المصباح من الآلة الثالثة (الحدث A3) بشرط أن يكون تالفاً (الحدث B). أي نريد P(A3|B).
2. **الخطوة 2 (القانون):** لحساب الاحتمال الشرطي، نستخدم قانون بايز أو صيغة الاحتمال الشرطي الأساسية: $$P(A3|B) = \frac{P(A3 \cap B)}{P(B)}$$ حيث $P(A3 \cap B)$ هو احتمال أن يكون المصباح من الآلة الثالثة ويكون تالفاً. يمكن كتابة هذا الاحتمال أيضاً باستخدام قانون الضرب: $$P(A3 \cap B) = P(A3) \times P(B|A3)$$ إذن، الصيغة النهائية التي سنستخدمها هي: $$P(A3|B) = \frac{P(A3) \times P(B|A3)}{P(B)}$$
3. **الخطوة 3 (الحساب):** نحتاج إلى قيم هذه الاحتمالات. من المعطيات في السؤال والمثال (2) الذي يشير إليه: - $P(B)$ = احتمال اختيار مصباح تالف بشكل عام = 0.049 - $P(A1) \times P(B|A1)$ = احتمال أن يكون المصباح من الآلة الأولى ويكون تالفاً = 0.002 - $P(A2) \times P(B|A2)$ = احتمال أن يكون المصباح من الآلة الثانية ويكون تالفاً = 0.012 نلاحظ أن مجموع احتمالات أن يكون المصباح تالفاً ومن كل آلة يجب أن يساوي $P(B)$: $$P(B) = [P(A1)P(B|A1)] + [P(A2)P(B|A2)] + [P(A3)P(B|A3)]$$ نعوض بالقيم المعطاة: $$0.049 = 0.002 + 0.012 + [P(A3)P(B|A3)]$$ نحل المعادلة لإيجاد $P(A3)P(B|A3)$: $$P(A3)P(B|A3) = 0.049 - 0.002 - 0.012 = 0.035$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة والمقارنة):** الآن نعوض في صيغة الاحتمال الشرطي: $$P(A3|B) = \frac{P(A3)P(B|A3)}{P(B)} = \frac{0.035}{0.049}$$ نقوم بالقسمة: $$P(A3|B) \approx 0.714$$ للمقارنة مع المثال (2): في المثال (2) كان السؤال عن احتمال أن يكون المصباح التالف من الآلة الأولى، وكانت النتيجة حوالي 0.041. نلاحظ أن احتمال أن يكون المصباح التالف من الآلة الثالثة (0.714) أكبر بكثير من احتمال أن يكون من الآلة الأولى (0.041). هذا منطقي لأن القيمة $P(A3)P(B|A3)=0.035$ هي الأكبر بين القيم الثلاث المعطاة لاحتمالات التقاطع.

سؤال مربع-2: قرر أي آلة سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف الأكبر؟ وأي آلة سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف الأقل؟

الإجابة: الأكبر: الآلة الثالثة، والأقل: الآلة الأولى.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** هذا السؤال يطلب منا تفسير النتائج التي توصلنا إليها في السؤال السابق (مربع-1) وفي المثال (2). الفكرة هي تحديد أي آلة لديها أعلى احتمال وأي آلة لديها أقل احتمال لإنتاج المصباح التالف، وذلك بناءً على حساب الاحتمال الشرطي $P(A_i|B)$، أي احتمال أن تكون الآلة هي المصدر بشرط أن المصباح تالف. من الحسابات: - احتمال أن يكون المصباح التالف من الآلة الأولى $P(A1|B) \approx 0.041$ (من المثال 2). - احتمال أن يكون المصباح التالف من الآلة الثانية $P(A2|B)$ يمكن حسابه بنفس الطريقة باستخدام القيمة المعطاة $P(A2)P(B|A2)=0.012$ و $P(B)=0.049$، فيكون $0.012 / 0.049 \approx 0.245$. - احتمال أن يكون المصباح التالف من الآلة الثالثة $P(A3|B) \approx 0.714$ (من السؤال مربع-1). بمقارنة هذه القيم الثلاث: 0.714 (للآلة الثالثة) > 0.245 (للآلة الثانية) > 0.041 (للآلة الأولى). إذن، الآلة التي سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف هو الأكبر هي **الآلة الثالثة**، لأنها تساهم بأكبر حصة (0.035) من إجمالي المصابيح التالفة (0.049). والآلة التي سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف هو الأقل هي **الآلة الأولى**، لأنها تساهم بأصغر حصة (0.002) من إجمالي المصابيح التالفة.

ما هي صيغة قانون بايز لحساب الاحتمال الشرطي P(A₁|B)؟

الإجابة: P(A₁|B) = P(A₁) P(B|A₁) / P(B)

الشرح: هذه هي الصيغة الأساسية لقانون بايز، والتي تربط الاحتمال الشرطي لحدث A₁ بشرط وقوع حدث B باحتمال A₁ واحتمال B بشرط A₁ والاحتمال الكلي لـ B.

تلميح: فكر في العلاقة بين الاحتمال الشرطي والاحتمالات الهامشية والشرطية الأخرى.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان P(A₁) P(B|A₁) = 0.002 و P(B) = 0.049، فما قيمة P(A₁|B) تقريباً؟

الإجابة: 0.04 (أو حوالي 4%)

الشرح: بتطبيق صيغة قانون بايز: P(A₁|B) = 0.002 / 0.049 ≈ 0.0408، مما يقرب إلى 0.04 أو 4%.

تلميح: استخدم الصيغة الأساسية لقانون بايز وقم بالقسمة.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل

إذا كان P(A₂) P(B|A₂) = 0.012 و P(B) = 0.049، فما قيمة P(A₂|B) تقريباً؟

الإجابة: 0.245 (أو حوالي 24.5%)

الشرح: بتطبيق صيغة قانون بايز: P(A₂|B) = 0.012 / 0.049 ≈ 0.2449، مما يقرب إلى 0.245 أو 24.5%.

تلميح: طبق نفس الصيغة المستخدمة في الجزء (أ) مع القيم الجديدة.

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: سهل

بناءً على الحسابات P(A₁|B) ≈ 0.04 و P(A₂|B) ≈ 0.245، ما الاستنتاج حول مصدر المصباح التالف؟

الإجابة: الاحتمال الأكبر أن يكون المصباح التالف من إنتاج الآلة الثانية (A₂).

الشرح: بما أن P(A₂|B) ≈ 0.245 أكبر بكثير من P(A₁|B) ≈ 0.04، فإن احتمال أن يكون المصباح التالف قادماً من الآلة الثانية أعلى.

تلميح: قارن بين قيمتي الاحتمال الناتجتين. أي قيمة أعلى؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لتطبيق قانون بايز في مسألة مماثلة؟

الإجابة: 1. تحديد الأحداث (مثل A₁, A₂, B). 2. كتابة صيغة قانون بايز للحدث المطلوب. 3. إدخال القيم المعطاة للاحتمالات. 4. إجراء العملية الحسابية (الضرب والقسمة). 5. تفسير النتيجة ومقارنتها إذا لزم الأمر.

الشرح: توضح هذه الخطوات المنهجية لحل مسائل قانون بايز، بدءاً من فهم السيناريو وانتهاءً بتفسير الاحتمال المحسوب.

تلميح: ركز على التسلسل المنطقي: من تحديد المتغيرات إلى الحساب ثم الاستنتاج.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط